请你说一说交叉熵

[问答题]

请你说一说交叉熵，也可以再说一下其他的你了解的熵

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MuMaXu

信息熵

$H(X)=-\sum_{x} p(x) \log p(x)=-\sum_{i=1}^{n} p\left(x_{i}\right) \log p\left(x_{i}\right)$

$H(X)$ 就被称为随机变量 $x$ 的熵,它是表示随机变量不确定的度量，是对所有可能发生的事件产生的信息量（自变量x的信息量为 $I(x)=-logp(x)$ ）的期望。从公式可得，随机变量的取值个数越多，状态数也就越多，信息熵就越大，混乱程度就越大。当随机分布为均匀分布时，熵最大.

条件熵 (Conditional entropy)

条件熵 $H(Y|X)$ 表示在已知随机变量 X 的条件下随机变量 Y 的不确定性。条件熵 H(Y|X) 定义为 X 给定条件下 Y 的条件概率分布的熵对 X 的数学期望

$\begin{aligned} H(Y | X) &=\sum_{x} p(x) H(Y | X=x) \\ &=-\sum_{x} p(x) \sum_{y} p(y | x) \log p(y | x) \\ &=-\sum_{x} \sum_{y} p(x, y) \log p(y | x) \\ &=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(y | x) \end{aligned}$

条件熵H(Y|X)相当于联合熵H(X,Y)减去单独的熵H(X)，即

$\begin{aligned} H(X, Y) &=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(x, y) \\ &=-\sum_{x, y} p(x, y) \log (p(y | x) p(x)) \\ &=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(y | x)-\sum_{x, y} p(x, y) \log (x) \\ &=H(Y | X)-\sum_{x, y} p(x, y) \operatorname{logp}(x) \\ &=H(Y | X)-\sum_{x} \sum_{y} p(x, y) \operatorname{logp}(x) \\ &=H(Y | X)-\sum_{x}^{x} \operatorname{logp}(x) \sum_{y} p(x) \\ &=H(Y | X)-\sum_{x}^{x} p(x) \operatorname{logp}(x) \\ &=H(Y | X)-\sum_{x}^{x} p(x) \operatorname{logp}(x) \\ &=H(Y | X)+H(X) \end{aligned}$

相对熵 (Relative entropy)，也称KL散度 (Kullback–Leibler divergence)

相对熵可以用来衡量两个概率分布之间的差异，上面公式的意义就是求p与q之间的对数差在p上的期望值。

设p(x)、q(x)是离散随机变量X中取值的两个概率分布，则p对q的相对熵是：

$D_{K L}(p \| q)=\sum_{x} p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)}=E_{p(x)} \log \frac{p(x)}{q(x)}$

交叉熵 (Cross entropy)

现在有关于样本集的两个概率分布p(x)和q(x)，其中p(x)为真实分布，q(x)非真实分布。如果用真实分布p(x)来衡量识别别一个样本所需要编码长度的期望（平均编码长度）为:

$H(p)=\sum_{x} p(x) \log \frac{1}{p(x)}$

如果使用非真实分布q(x)来表示来自真实分布p(x)的平均编码长度，则是：

$H(p, q)=\sum_{x} p(x) \log \frac{1}{q(x)}$

（因为用 q(x) 来编码的样本来自于分布 q(x) ，所以 H(p,q) 中的概率是 p(x)）。此时就将 H(p,q) 称之为交叉熵。举个例子。考虑一个随机变量 x，真实分布 $p(x)=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right)$
由此可以看出根据非真实分布 q(x) 得到的平均码长大于根据真实分布 p(x) 得到的平均码长。