这里所谓的前缀,中缀,后缀是根据操作符的位置来定的,如果操作符在操作数前面,则称为前缀表达式,例如“- + 1 × + 2 3 4 5”;如果操作符在操作数之间,则称为中缀表达式,例如
“1+((2+3)×4)-5”;如果操作符在操作数后面,则称为后缀表达式,例如“1 2 3 + 4 × + 5 -”。
虽然中缀表达式符合人类的日常思维习惯,但是计算机在存储中缀表达式时,需要使用树这种数据结构,如果表达式过于复杂,那么树的高度会变得很高,大大增加了时间复杂度和空间复杂度。如果转换成线性结构,那么效率将变得高很多,所以需要将中缀表达式先转换成前缀或者后缀表达式,然后依靠栈这种线性数据结构来进行计算。
前缀表达式又叫波兰表达式,后缀表达式又叫逆波兰表达式。前缀表达式基本没有在商业计算机中使用过,所以现实中用的更多的是后缀表达式。
如何将中缀表达式转化成后缀表达式呢?
利用两个栈S1,S2:其中S1存放操作符,S2存放操作数
从左往右遍历中缀表达式,如果遇到数字,则放入S2中,如果遇到操作符,则放入S1中。在放操作符的时候有一定的规则,如果栈为空或栈顶元素为(,则直接压栈。如果是(,也直接压栈;如果栈顶元素为普通操作符,则比较优先级,如果待压栈的操作符比栈顶操作符优先级高,则直接压栈,否则将S1中的栈顶元素出栈,并压入S2中,再接着比较S1栈顶元素的优先级。如果遇到),则依次弹出S1栈顶的运算符,并压入S2,直到遇到左括号为止,此时将这一对括号丢弃。最后将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2,逆序输出S2(从栈底到栈顶)便得到了后缀表达式。(注意:等号的优先级最低,因为要到最后才进行赋值操作)
得到后缀表达式之后,计算就变得方便多了,遇到数字就压栈,遇到操作符的时候,pop出栈顶的两个元素,进行计算后将结果又压入栈中,这样一直下去,直到得到最终结果。
将中缀表达式“a*f+(b-c/d)*e”转换为后缀表达式的过程如下:
| S2(栈底->栈顶)数字 | S1 (栈底->栈顶)操作符 | 说明 | |
a | a | 空 | 数字,直接入栈 | |
* | a | * | S1为空,运算符直接入栈 | |
f | af | * | 数字,直接入栈 | |
+ | af* | + | +比*优先级低 将S1中的栈顶元素出栈,并压入S2中 | |
( | af* | +( | ( ,直接入栈 | |
b | af*b | +( | 数字,直接入栈 | |
- | af*b | +(- | S1栈顶为左括号,运算符直接入栈 | |
c | af*bc | +(- | 数字,直接入栈 | |
/ | af*bc | +(-/ | /比-优先级高,则直接压栈 | |
d | af*bcd | +(-/ | 数字,直接入栈 | |
) | af*bcd/- | + | 右括号,弹出运算符到s2直至遇到左括号 | |
* | af*bcd/- | +* | *比+优先级高,则直接压栈 | |
e | af*bcd/-e | +* | 数字,直接入栈 | |
到达最右端 | af*bcd/-e*+ | 空 | 弹出S1中剩余的运算符 |
得出结果:af*bcd/-e*+,OK