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123456789101112...2014除以9的余数是？

[填空题]

123456789101112...2014除以9的余数是1

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S.Xiao

答案是 1 。

分析：这个大数可分解为 1 * 10ⁿ + 2 * 10^n-1 + ... + 2014 * 10⁰ （①式）。而 10^m - 1 （m为自然数）都可以被 9 整除。将①式减掉 1 * 9999...9（共n-1个9）+ 2 * 9999...9（共n-2个9）... + 2014 * 9 之后余数不变。这问题转化为求 1 + 2 + ... + 2014 的余数，1一直加到2014的和为(1+2014)*2014/2 = 2029105， 2029105 MOD 9 = 1。所以余数为 1。

编辑于 2015-01-17 10:52:41 回复(6)

在拧螺丝的起司很愉快

两个点：

1，首先（1+2+...+2014）mod9就是123456789101112...20132014mod9 (楼上已有证明)

2，mod运算的分配率，(a*b) mod c = ((a mod c) * (b mod c)) mod c ，(a+b) mod c=(a mod c+ b mod c) mod c

所以（1+2+...+2014）mod 9 = （1+2014）* 2014/2 mod 9 = (2015mod9 * 1007mod 9)mod 9 = (8*8)mod9 = 1

发表于 2015-09-09 17:02:58 回复(0)

子介之云

能整除9的数是各位之和相加可以整除9。2014*(1+2014)/2 mod 9 =1，所有余数是1.

发表于 2015-08-25 09:28:18 回复(0)

南山北

很简单啊，能被9整除的数肯定也能被3整除，那么原题就转化为除以3余几的问题，答案肯定锁定在余1或者余2了，那么被3整除的数有个特征，所有位加起来是3的倍数，那就好办了啊，原题可以看做是1+2+3+....+2014，二分，2014/2=1002，也就是说 2013+1=2014， 2012+2=2014 ...依次类推，两边不断叠加，直到1002 ，不管他最后是多少个2014，但是他肯定是2014的倍数，那就简单了先求一下2014各位加起来是不是能被3整除，2014各位相加为7，不能被3整除吧，那同理n个2014也不能被3整除了，但是中间还有一个1002，然后1002各位相加为3,3+7=10，肯定不能被3整除，那就转化成了10/3的问题了，答案揭晓了余1啊！。不知道我的想法对不对仅供参考

编辑于 2016-08-19 20:46:20 回复(2)

过往云烟123

各位数字之和能被9整除，那么这个数就可以被9整除。

一个数除以9的余数等于各位数字之和除以9的余数。

发表于 2016-08-01 11:54:08 回复(0)

追夢人.

（1+2+3+……+1024）÷9余1

编辑于 2016-06-16 16:12:12 回复(0)

日月明

很简单，比如把整数例如 100 看成 99 —— 100 mod 9 = 1；

所以题目类似的看成（1+2+3+4+5+6+.....+2014）mod 9 了

Sn = （a1+an）* n/2 及 = （1+2014）*2014/2

Sn mod 9 = 1；

发表于 2015-06-19 22:56:40 回复(0)

张家不二君

算9的余数，则将每个数的各位加起来的和对9求余就行了，最后得出总数是11065，余数为4

发表于 2015-01-14 16:07:38 回复(2)

ttkl

9的余数等于数的各位加起来的和对9求余，=（1+2+...8+9+1+0+1+1+...+2+0+1+4）mod9

= （1+2+...8+9+10+11+...+2014）mod9 注释：每个数分别mod9

= （1+2+...8+0+..+1+2+...+7）mod9

注释： 1+2+...+8为一个循环，且（1+2+...+8） mod9=0

=（1+2...+7）mod9

发表于 2015-03-11 08:50:39 回复(8)

暴走的蜗牛

（1+2014）*2014/2mod9 = 1

发表于 2015-04-29 21:22:25 回复(0)

666的佩奇爸爸

连续9个自然数之和是9的倍数，所以2014/9=223......7

所以是(2014+2013+2012+2011+2010+2009+2008)/9=1564......1

发表于 2018-07-16 14:47:46 回复(1)

牛客5810736号

注意到从1加到9能被9整除，10加到90同理，100加到900同理

因此原题结果与1000+2000+2010+2011+2012+2013+2014相等

减掉9000，也就,4000+50+10相等，4060mod9=1，口算一下就出来了~

发表于 2017-02-13 16:02:46 回复(0)

xushaozhang

网上搜到一个新解法：因为A=1234.....2007中有2007能被9整除，那么只要后面从B=2008.....2014可以被整除就行，因为原数=A*10^28+B，所以只要B也可以整除9就行。2+8+2+9+....+2+1+4=46，46%9=1；

发表于 2016-10-16 19:27:01 回复(0)

牛客2818079号

擦余数是（1），正确。然后我就错了

发表于 2016-09-10 11:46:48 回复(0)

梦婷

123456……2014由连续的自然数构成，能被9整除的一定能被3整除。2013是3的倍数，所以123……2013一定能被3整除，2014除以3余1，因此123……2014除以3余1.

发表于 2016-09-04 11:06:09 回复(0)

你_不要_说话

(1+2+3+……2014)mod9

=2014*2015/2 mod 9 =7*8mod 9/2=1

2014mod9=7

发表于 2016-08-24 20:24:48 回复(0)

ZacharyJoke

从1 12 123 ...到123...2014 余数规律为1 3 6 1 6 3 1 0 0 1 3 6 1 6 3 1 0 0 1 3 6 1 6 3 1……所以123...2014余数为1，不要问我为什么知道，无聊推出来的

发表于 2016-08-01 01:19:58 回复(0)

./a.out

同余定理

发表于 2016-06-13 12:00:01 回复(0)

O.z.

123456789101112...2014 MOD 9

=(1+2+3+...+2014) MOD 9

=((1+2014)*2014/2) MOD 9

=(2015*1007) MOD 9

=(2015 MOD 9)*(1007 MOD 9) MOD 9

=((2+0+1+5) MOD 9)*((1+0+0+7) MOD 9) MOD 9

=64 MOD 9

发表于 2016-05-28 22:38:11 回复(0)

DD小样

参考解析：

9的余数等于数的各位加起来的和对9求余，=（1+2+...8+9+1+0+1+1+...+2+0+1+4）mod9

= （1+2+...8+9+10+11+...+2014）mod9 注释：每个数分别mod9

= （1+2+...8+0+..+1+2+...+7）mod9

注释： 1+2+...+8为一个循环，且（1+2+...+8） mod9=0

=（1+2...+7）mod9

发表于 2015-08-27 20:49:52 回复(0)

seekerjie

这个大数对9求余

=(1+2+3+……+8+9+1+0+1+1+ …… +1+8+1+9+2+0+2+1+……+2+8+2+9+……+2+0+1+4）mod 9

=(1+2+3+……+8+9+ 10 + 11 +…… + 18+ 19+ 20+ 21 +……+ 28 + 29 +……+ 2014）mod 9

=(1+2014)*2014/2 mod 9

=2015*1007 mod 9

=(223*9+8)*(111+8) mod 9

=8*8 mod 9

发表于 2015-08-26 12:46:59 回复(0)

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京东智力题

来自：京东2015校园招聘技...

上传者：小牧魔法袋

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