一个n位的非负整数a是自守数当且仅当其平方的后n位是a，即又知x是自守数，那么x的后n位是自守数（由x对 取模易证），那么，如果x的后n位不是自守数，我们就不用考虑x。于是，我们可以从个位开始向前生成一系列自守数。设p是一个n位的自守数，现在要从p的前面添加一位（或广义地，若干位）构成新的自守数 ，那么从而要求 必须是整数。对 无需考虑 ，如此只需要考虑后几项：由于 是整数，变形得此即求自守数问题需要求解的同余式。注意到除自守数0、1以外，自守数个位只能取5或6：一位自守数只有0、1、5、6；末尾n个0的数如果不是0，平方就会得到2n个0，故这样的0要求有无限多个，矛盾；个位是1、十...

本题即求(a+1)*(b+1)的矩阵中的单调路径数，即a*(b+1)的矩阵中的单调路径数与(a+1)*b的矩阵中的单调路径数之和。递归时可利用对称性。另一种做法是直接推导出组合式并直接计算（略）。 def num_ways(num_rows, num_columns): num_rows += 1 num_columns += 1 # Java里用二维数组代替dict，也可以变二维为一维然后用Map _cache = {} def _sub(_rows, _columns): if _rows == 1 or _columns == 1:...