华为OD统一考试- 5G网络建设

题目描述

现需要在某城市进行5G网络建设，已经选取N个地点设置5G基站，编号固定为1到N，接下来需要各个基站之间使用光纤进行连接以确保基站能互联互通，不同基站之间架设光纤的成本各不相同，且有些节点之间已经存在光纤相连。

请你设计算法，计算出能联通这些基站的最小成本是多少。

注意：基站的联通具有传递性，比如基站A与基站B架设了光纤，基站B与基站C也架设了光纤，则基站A与基站C视为可以互相联通。

输入描述

第一行输入表示基站的个数N，其中：

• 0 < N ≤ 20

第二行输入表示具备光纤直连条件的基站对的数目M，其中：

• 0 < M < N * (N - 1) / 2

从第三行开始连续输入M行数据，格式为

X Y Z P

其中：

X，Y 表示基站的编号

• 0 < X ≤ N
• 0 < Y ≤ N
• X ≠ Y

Z 表示在 X、Y之间架设光纤的成本

• 0 < Z < 100

P 表示是否已存在光纤连接，0 表示未连接，1表示已连接

输出描述

如果给定条件，可以建设成功互联互通的5G网络，则输出最小的建设成本

如果给定条件，无法建设成功互联互通的5G网络，则输出 -1

用例

题目解析

（下图中，虚线代表节点之间可以铺设光纤，但是还没有铺设，实线表示已经铺好了）

用例1图示

用例2图示

用例3图示

本题是经典的最小生成树问题

生成树概念

而在了解最小生成树概念前，我们需要先了解生成树的概念：

在无向连通图中，生成树是指包含了全部顶点的极小连通子图。

生成树包含原图全部的n个顶点和n-1条边。（注意，边的数量一定是n-1）

比如下面无向连通图例子：

根据生成树概念，我们可以基于上面无向连通图，产生多个生成树，下面举几个生成树例子：

如上图我们用n-1条橙色边连接了n个顶点。这样就从无向连通图中产生了生成树。

为什么生成树只能由n-1条边呢？

因为少一条边，则生成树就无法包含所有顶点。多一条边，则生成树就会形成环。

而生成树最重要的两个特性就是：

1、包含所有顶点

2、无环

最小生成树概念

了解了生成树概念后，我们就可以进一步学习最小生成树了。

我们回头看看无向连通图，可以发现每条边都有权重值，比如v1-v2权重值是6，v3-v6权重值是4。

最小生成树指的是，生成树中n-1条边的权重值之和最小。

那么如何才能准确的找出一个无向连通图的最小生成树呢？

有两种算法：Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法是基于顶点找最小生成树。Kruskal是基于边找最小生成树。

Prim算法

首先，我们介绍Prim算法：

我们可以选择无向连通图中的任意一个顶点作为起始点，比如我们选v1顶点为起始点

从v1顶点出发，有三条边，我们选择权重最小的1，即将v1-v3相连

此时我们需要将v1-v3看成一个整体，然后继续找这个整体出发的所有边里面的最小的， 

 可以发现为最小权重为4，因此，将v3-v6相连

接着将v1-v3-v6看出一个整体，找这个整体出发的所有边里面的最小的，可以找到最小权重2，因此将v6-v4相连

但是接下来，我们会发现，从v1-v3-v6-v4整体出发的所有边里面同时有三个最小权重5，那么该如何选择呢？

其实不难看出，如果选择v4-v3，或者v4-v1相连，则对应的生成树就形成了环结构，因此就不符合生成树特性了，因此我们只能选择v3-v2。

（注意：如果有多个相同的最小权重边可选，并且都不会产生环结构，则可以选择其中任意一条边，最终得到结果都是最小生成树） 

 其实，不仅仅在上面遇到相同权重边时，需要判断是否形成环，在前选择每一条边时都需要判断是否形成环，一旦选择的边能够形成环，那么我们就应该舍弃它，选择第二小的权重边，并继续判断。

按照上面逻辑，我们可以继续找到v1-v2-v3-v4-v6整体出发所有边中的最小权重边3，即将v2-v5相连，并且连接后不会形成环

此时选择的边数已经达到了n-1条，因此可以结束逻辑，而现在得到的就是最小生成树。我们可以将这个最小生成数的所有边的权重值之和计算出来为15。 

上面这种基于顶点的找最小生成树的方式就是Prim算法。

关于Prim算法具体实现细节请看代码实现，已添加详细注释。

Kruskal算法

接下来介绍Kruskal算法：

Kruskal算法要求我们将所有的边按照权重值升序排序，因此可得：

首先，我们将权重最小的边v1-v3加入，得到下图

接着将下个最小权重2的边v4-v6加入 

接着继续加最小权重边

此时边数已经达到n-1，而刚好这个过程中也没有环的形成，因此得到的就是最小生成树。

但是这里有巧合因素在里面，因为最后一步中，最小权重5的边有多条，如果并不是v2-v3排在前面呢，比如是v1-v4呢？

可以发现，形成了环，因此我们应该舍弃这条边，继续找剩下的最小权重边。最后总能找到v2-v3。

那么判断环的存在就是实现上面Prim算法和Kruskal算法的关键点！

其实，生成树就是一个连通分量，初始时，生成树这个连通分量只有一个顶点（Prim），或者两个顶点（Kruskal），后面会不断合入新的顶点进来，来扩大连通分量范围。

而连通分量可以使用并查集表示，

并查集本质就是一个长度为n的数组（n为无向图的顶点数），数组索引值代表图中某个顶点child，数组索引指向的元素值，代表child顶点的祖先顶点father。

初始时，每个child的father都是自己。即初始时，默认有n个连通分量。

比如 arr = [1,1,1,5,5,5] 数组就可以模拟出一个无向图

• 0顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值）  
• 1顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值） 
• 2顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值） 

我们可以用father指代一个连通分量。比如上面arr = [1,1,1,5,5,5]就有两个连通分量，分别是father为1的连通分量和father为5的连通分量。

最小生成树中的顶点必然都处于同一个连通分量中，因此每加入一个新的顶点child_new，我们我们就可以看它的father是否已经是连通分量对应的father，如果是，则说明顶点child_new其实已经存在于最小生成树中了，因此就产生了环，比如下面例子：

​

上面右图绿色部分（对应连通图中橙色实线），则arr变为

​

上面右图黄色部分（对应连通图中黑色实线），即v4顶点的father改成v1，但是实际上v4的father已经是v1，那么此时如果再强行加入的话，那么就形成了环。

Prim算法和Kruskal算法的适用场景

Prim算法是基于节点操作的，因此Prim算法适用于节点少，边多的情况

Kruskal算法是基于边操作的，因此Kruskal算法适用于节点多，边少的情况。

本题解析

本题属于最小生成树的变种题，区别于板子题，本题中主要是存在一些已经关联好的节点。

比如下面连通图中，2-3是已经连通好的。

其实处理起来也很简单，对于已经关联了的节点，我们可以认为他们之间的边权为0。

即上图中，2-3虽然边权为5，但是由于已经关联好了，因此可以认为实际边权为0。

这样的话，本题就变成最小生成树的板子题了。

import Foundation

func ODTest_2_14() {
    print("输入描述")
    print("第一行输入表示基站的个数N，其中：")
    print("0 < N ≤ 20")
    let N = Int(readLine() ?? "") ?? 0
    print("第二行输入表示具备光纤直连条件的基站对的数目M，其中：")
    print("0 < M < N * (N - 1) / 2")
    let M = Int(readLine() ?? "") ?? 0
    print("从第三行开始连续输入M行数据，格式为")
    print("X Y Z P")
    print("其中：")
    print("X，Y 表示基站的编号")
    print("0 < X ≤ N0 < Y ≤ NX ≠ Y")
    print("Z 表示在 X、Y之间架设光纤的成本")
    print("P 表示是否已存在光纤连接，0 表示未连接，1表示已连接")
    var XYZP: [[Int]] = []
    for _ in 0 ..< M {
        var data = (readLine() ?? "").split(separator: " ").map { Int($0) ?? 0 }
        XYZP.append(data)
    }

    print("X，Y 表示基站的编号")
    var graph: [[Int]] = Array(repeating: Array(repeating: Int.max, count: N + 1), count: N + 1)
    for i in 0 ..< M {
        let x = XYZP[i][0]
        let y = XYZP[i][1]
        let z = XYZP[i][2]
        let p = XYZP[i][3]
        if p == 0 {
            // x-y边权为z
            graph[x][y] = z
            graph[y][x] = z
        } else {
            // 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0
            graph[x][y] = 0
            graph[y][x] = 0
        }
    }
    print("如果给定条件，可以建设成功互联互通的5G网络，则输出最小的建设成本")
    print("\(prim(graph, N))")
}

func prim(_ graph: [[Int]], _ n: Int) -> Int {
    // 记录最小生成树的边权和
    var minWeight = 0
    // inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中
    var inTree: [Bool] = Array(repeating: false, count: n + 1)

    // 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1
    inTree[1] = true
    // 记录最小生成树中点数量
    var inTree_count = 1

    // dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离
    var dis: [Int] = Array(repeating: 0, count: n + 1)
    for i in 1 ... n {
        // 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离
        dis[i] = graph[1][i]
    }

    // 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环
    while inTree_count < n {
        // 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的
        // minDis 记录这个最近距离
        var minDis = Int.max
        // idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点
        var nodeIdx = 0
        for i in 1 ... n {
            // 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的
            if !inTree[i] && dis[i] < minDis {
                minDis = dis[i]
                nodeIdx = i
            }
        }

        // 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Int.max，即不与最小生成树存在关联
        if nodeIdx == 0 {
            // 则说明，当前所有点无法形成最小生成树
            return -1
        }
        inTree[nodeIdx] = true // 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx
        inTree_count += 1 // 最小生成树中点数量+1
        minWeight += dis[nodeIdx] // 更新最小生成树的权重和

        // dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1）
        // 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近
        for i in 1 ... n {
            if !inTree[i] && graph[nodeIdx][i] < dis[i] {
                // 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离，
                // 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离
                // 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离
                dis[i] = graph[nodeIdx][i]
            }
        }
    }
    return minWeight
}