华为OD统一考试 - 分披萨

题目描述

"吃货"和"馋嘴"两人到披萨店点了一份铁盘（圆形）披萨，并嘱咐店员将披萨按放射状切成大小相同的偶数个小块。但是粗心的服务员将披萨切成了每块大小都完全不同奇数块，且肉眼能分辨出大小。

由于两人都想吃到最多的披萨，他们商量了一个他们认为公平的分法：从"吃货"开始，轮流取披萨。除了第一块披萨可以任意选取外，其他都必须从缺口开始选。

他俩选披萨的思路不同。"馋嘴"每次都会选最大块的披萨，而且"吃货"知道"馋嘴"的想法。

已知披萨小块的数量以及每块的大小，求"吃货"能分得的最大的披萨大小的总和。

输入描述

第 1 行为一个正整数奇数 N，表示披萨小块数量。

• 3 ≤ N < 500

接下来的第 2 行到第 N + 1 行（共 N 行），每行为一个正整数，表示第 i 块披萨的大小

• 1 ≤ i ≤ N

披萨小块从某一块开始，按照一个方向次序顺序编号为 1 ~ N

• 每块披萨的大小范围为 [1, 2147483647]

输出描述

"吃货"能分得到的最大的披萨大小的总和。

用例

题目解析

题目用例意思如下：

初始月饼如下：

题目说

从"吃货"开始，轮流取披萨。

除了第一块披萨可以任意选取外，其他都必须从缺口开始选。

因此第一轮从"吃货"开始选，按照题目用例说明，先选走了10

下一轮轮到"馋嘴"选，且必须从缺口的两端（5，2）中选，题目说：

"馋嘴"每次都会选最大块的披萨

因此"馋嘴"固定选择缺口的两端中较大的，即必然选走5

下一轮轮到吃货选择，而吃货也必须从缺口两端（7，2）中选：

• 如果选走2的话，那么下一轮，馋嘴肯定选走8
• 如果选走7的话，那么下一轮，馋嘴肯定选走8

因此无论吃货无论选哪个，馋嘴下一轮肯定选走8，因此吃货此轮选走7更优

下一轮轮到馋嘴选，肯定选走8

最后一轮吃货再选走2。

本题我的解题思路是利用递归来求解。

第一轮，"吃货"可以拿任意一块披萨。而"吃货"拿完后，披萨铁盘就会产生缺口，而"馋嘴"取走披萨是明确的，就是缺口左右两边中较大者。

第二轮，"吃货"需要从披萨铁盘的缺口处选择，有两种：

1. 选择缺口左边的披萨
2. 选择缺口右边的披萨

此时我们可以进行递归开两个分支，分别去尝试此轮取左边，和此轮取右边，最终选取两种方式中可以给"吃货"带来最大披萨大小的那个值。

而一旦"吃货"选完，"馋嘴"选取的披萨是明确的，即缺口左右两边中较大值。

第三轮，"吃货"的选取披萨策略，继续按照第二轮的方式进行递归处理

.....

第X轮，只剩一块披萨时，由于披萨一开始就分成了奇数块，而"吃货"又有先选优势，因此最后一块也是"吃货"的，此时结束递归。

本题的披萨数量 3 ≤ N < 500，这个数量级依赖纯递归，会超时。

因此我们可以加入缓存优化，即将某个缺口状态下，"吃货"能获得的最大披萨大小记录下来，比如：

上图所示中，披萨的缺口状态是 [左边7， 右边2]，且当前状态处于"吃货"选择的轮次，我们按照前面思路可以知道这种缺口状态下，"吃货"能得到的最大披萨为 7 + 2

因此：

假设左边缺口位置是 L，右边缺口位置是 R

那么可以记录下：cache[L][R] = 7 + 2

如果后面再次遇到上面缺口状态，则无需重新递归计算，只需要取出cache[L][R]即可。

递归的缓存优化策略很常见，比如斐波那契数列的求解。大家可以找找相关资料熟悉下。

另外Python有针对函数结果的自动缓存标签@cache，可以避免手动实现缓存表，实现上更佳简单

import Foundation

// 纯递归（会超时，但是是下一种解法的基础，需要先看懂这里）
class SplittingPizza {
    var N = 0

    var pizza: [Int] = []

    func getIndex(_ no: Int) -> Int {
        if no < 0 {
            return N - 1
        } else if no >= N {
            return 0
        }
        return no
    }

    func recursive(_ leftP: Int, _ rightP: Int) -> Int {
        var left = leftP
        var right = rightP
        // 进入递归前，"吃货"已经拿了披萨，因此进入递归后，轮到"馋嘴"拿
        // 而"馋嘴"拿披萨的策略固定是：缺口左右两边中较大的那块
        if pizza[left] > pizza[right] {
            // 拿走第 left 块，因此缺口左边的位置变为 left - 1
            left = getIndex(left - 1)
        } else {
            // 拿走第 r 块，因此缺口右边的位置变为 right + 1
            right = getIndex(right + 1)
        }
        if left == right {
            // 当 left == right 是，说明只剩一块披萨了，由于奇数个披萨，且"吃货"第一个拿，因此最后一个也是"吃货"拿
            return pizza[left]
        } else {
            // 如果还剩多块披萨，那么"吃货"有两种选择：
            // 1、拿缺口左边的披萨
            // 2、拿缺口右边的披萨
            // 因此这里直接开两个递归分支，最终结果取较大值
            return max(recursive(getIndex(left - 1), right) + pizza[left], recursive(left, getIndex(right + 1)) + pizza[right])
        }
    }

    func start() {
        print("第 1 行为一个正整数奇数 N，表示披萨小块数量")
        N = Int(readLine() ?? "") ?? 0
        // n个披萨的大小（各不相同）
        pizza = Array(repeating: 0, count: N)
        print("接下来的第 2 行到第 N + 1 行（共 N 行），每行为一个正整数，表示第 i 块披萨的大小")
        for i in 0 ..< N {
            pizza[i] = Int(readLine() ?? "") ?? 0
        }

        // ans记录"吃货"能获得的最大披萨大小
        var ans = 0
        // i 指向首轮被"吃货"选取的披萨位置，可以理解为缺口位置，相当于给环切了一个口
        for i in 0 ..< N {
            // i - 1 是缺口的左边披萨，check函数作用是防止 i - 1 越界, 进行绕环运动
            // i + 1 是缺口的右边披萨，check函数作用是防止 i + 1 越界，进行绕环运动
            // recursive的作用求解是"吃货"从缺失了 第 i 块的披萨铁盘 开始选，最终可得的最大披萨大小，
            // 而第 i 块是首轮就被"吃货"拿走的，因此是recursive + pizza[i]
            ans = max(ans, recursive(getIndex(i - 1), getIndex(i + 1)) + pizza[i])
        }
        print("输出描述\r\n\"吃货\"能分得到的最大的披萨大小的总和。")
        print("\(ans)")
    }
}

// 递归 + 缓存（不超时）
class SplittingPizzaCache {
    var N = 0

    var pizza: [Int] = []

    var cache: [[Int]] = []

    func getIndex(_ no: Int) -> Int {
        if no < 0 {
            return N - 1
        } else if no >= N {
            return 0
        }
        return no
    }

    func recursive(_ leftP: Int, _ rightP: Int) -> Int {
        var left = leftP
        var right = rightP
        // 进入递归前，"吃货"已经拿了披萨，因此进入递归后，轮到"馋嘴"拿
        // 而"馋嘴"拿披萨的策略固定是：缺口左右两边中较大的那块
        if pizza[left] > pizza[right] {
            // 拿走第 left 块，因此缺口左边的位置变为 left - 1
            left = getIndex(left - 1)
        } else {
            // 拿走第 r 块，因此缺口右边的位置变为 right + 1
            right = getIndex(right + 1)
        }

        if cache[left][right] > 0 {
            return cache[left][right]
        }

        if left == right {
            // 当 left == right 是，说明只剩一块披萨了，由于奇数个披萨，且"吃货"第一个拿，因此最后一个也是"吃货"拿
            cache[left][right] = pizza[left]
        } else {
            // 如果还剩多块披萨，那么"吃货"有两种选择：
            // 1、拿缺口左边的披萨
            // 2、拿缺口右边的披萨
            // 因此这里直接开两个递归分支，最终结果取较大值
            cache[left][right] = max(recursive(getIndex(left - 1), right) + pizza[left], recursive(left, getIndex(right + 1)) + pizza[right])
        }
        return cache[left][right]
    }

    func start() {
        print("第 1 行为一个正整数奇数 N，表示披萨小块数量")
        N = Int(readLine() ?? "") ?? 0
        // n个披萨的大小（各不相同）
        pizza = Array(repeating: 0, count: N)
        cache = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: N), count: N)
        print("接下来的第 2 行到第 N + 1 行（共 N 行），每行为一个正整数，表示第 i 块披萨的大小")
        for i in 0 ..< N {
            pizza[i] = Int(readLine() ?? "") ?? 0
        }

        // ans记录"吃货"能获得的最大披萨大小
        var ans = 0
        // i 指向首轮被"吃货"选取的披萨位置，可以理解为缺口位置，相当于给环切了一个口
        for i in 0 ..< N {
            // i - 1 是缺口的左边披萨，check函数作用是防止 i - 1 越界, 进行绕环运动
            // i + 1 是缺口的右边披萨，check函数作用是防止 i + 1 越界，进行绕环运动
            // recursive的作用求解是"吃货"从缺失了 第 i 块的披萨铁盘 开始选，最终可得的最大披萨大小，
            // 而第 i 块是首轮就被"吃货"拿走的，因此是recursive + pizza[i]
            ans = max(ans, recursive(getIndex(i - 1), getIndex(i + 1)) + pizza[i])
        }
        print("输出描述\r\n\"吃货\"能分得到的最大的披萨大小的总和。")
        print("\(ans)")
    }
}

func ODTest_20() {
    // 纯递归（会超时，但是是下一种解法的基础，需要先看懂这里）
//    let pizza = SplittingPizza()
//    pizza.start()

    // 递归 + 缓存（不超时）
    let pizzaCache = SplittingPizzaCache()
    pizzaCache.start()
}