【智力题汇总】

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计算问题：一人打了10酒，回家是碰到朋友，分一半给他（5），但是朋友只有3 7容器

—— 小的往大的里面装，出其差

0 0 10->3 0 7->0 3 7->0 6 4->3 6 1->2 7 1->2 0 8->0 2 8->3 2 5->0 5 5

N个东西，最多拿M个

—— 若 N%(M+1)==0，没有余数，就让对方先拿，自己再拿时与对方拿的个数和是M+1 —— 后手必胜。

—— 若 N%(M+1) !=0，先拿余数，再与对方拿的个数和是M+1。—— 先手必胜。

我这里有五顶帽子，三顶黑色的，两顶白色的，你们闭上眼睛，我给你们每人戴上一顶，如果谁能最先猜出自己帽子的颜色，谁就最聪明。三人经过商量后同意了，闭上了眼睛，老人便给三人都戴上了一顶黑帽子，并把白帽子放进了自己的口袋。

只有这三种可能：

1。B B B

2。B B W

3。B W W

我看到BB，别人可能看到BB，可能看到BW

没人瞬间答出，排除 BWW

如果我是W，别人看到 B W，—— 马上会有BBW，则我是B。

100个人回答五道试题，有81人答对第一题，91人答对第二题，85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题，答对三道题或三道题以上的人算及格，那么，在这100人中，至少有多少人及格。

首先求解原题。每道题的答错人数为（次序不重要）：26，21，19，15，9。

答错3道即为不及格，则不及格的人最多为90÷3=30人

因此答案为：100-30=70。

其实，因为26小于30，所以在求出第1层后，即可判断出答案为70。

也很容易给出一个具体的实现方案：让70人答对全部五道题，11人仅答对第一、二道题，10人仅答对第二、三道题，5人仅答对第三、四道题，4人仅答对第四、五道题。

答错3个题导致不及格的人越多，及格人越少

在大西洋的“说谎岛”上，住着X、Y两个部落。X部落总是说真话，Y部落总是说假话。

有一天，一个游客来到这里迷路了。这时，恰巧遇见一个土著人A。

游客问：“你是哪个部落的人？”

回答说：“我是X部落的人。”

游客相信了A的回答，就请他做向导。

途中，他们看到远处的另一位土著人B，游客请A去问B是属于哪一个部落的人，A回来说：“B说他是X部落的人。”游客糊涂了，他问同行的逻辑学博士：“A是X部落的人，还是Y部落的人呢？”逻辑学博士说：“A是X部落的人。”

博士为什么得出这种结论呢断案结果无论B是哪个部落的都会说自已是X部落的，而A回答游客说B是X部落的，正确传达了B的话，所以A是X部落的。

灯泡问题：三盏灯看一次（其实你还能摸）—— 真题

热不热、亮不亮。先开A过一阵子（热），再开B（亮）。

单一的特征无法区分三个 —— 需要引入新的条件/特征。—— 或者发现的隐含的特征。

假设在桌上有三个密封的盒，一个盒中有2枚银币(1银币=10便士)，一个盒中有2枚镍币(1镍币=5便士)，还有一个盒中有1枚银币和1枚镍币。这些盒子被标上10便士、 15便士和20便士，但每个标签都是错误的。允许你从一个盒中拿出1枚硬币放在盒前，看到这枚硬币，你能否说出每个盒内装的东西呢？

取出标着15便士的盒中的一个硬币，如果是银的说明这个盒是20便士的，如果是镍的说明这个盒是10便士的，再由每个盒的标签都是错误的可以推出其它两个盒里的东西。

100个囚犯和灯泡,一百个囚犯和一个灯泡

有100个囚犯分别关在100间牢房里。牢房外有一个空荡荡的房间，房间里有一个灯泡，以及控制这个灯泡的开关。初始时，灯是关着的。看守每次随机选择一名囚犯进入房间，但保证每个囚犯都会被选中无穷多次。如果在某一时刻，有囚犯成功断定出所有人都进过这个房间了，所有囚犯都能释放。游戏开始前，所有囚犯可以聚在一起商量对策，但在此之后，它们唯一可用来交流的工具就只有那个灯泡。他们应该设计一个怎样的协议呢？

游戏开始前，囚犯们选出一个代表。在游戏过程中，除了这名代表以外，其他每个囚犯在进入房间时都遵循完全相同的策略：如果他是第一次看到灯泡处于不亮的状态，就按动开关，把灯泡变亮；在其他所有的情况下，他都什么也不做。每次这名代表进入房间时，如果他发现灯泡是亮的就把它关掉；如果他发现灯泡不亮，则什么也不做。同时，这名代表需要记住，他一共关过多少次灯。什么时候他发现关了99次灯，他就知道所有囚犯都进过房间了。

三个犯人

三个犯人都住在隔离间，并且都被判处了死刑。监狱官赦免了其中一个犯人。看守知道谁会赦免，但不会说。

犯人A脸皮厚，想让看守告诉他，B和C谁会被执行死刑。

如果赦免的是B，看守就会说C；如果赦免的是C，看守就会说B；如果赦免的是A，看守就抛硬币决定说B或者C。

看守告诉A，犯人B将会执行死刑。

犯人A兴奋不已，他决得自己生存的几率变为了0.5（因为B不可能被赦免了）

犯人A将此告诉了C，C同样很兴奋，他的理由是：A生存的机率仍然是1/3,但

自己生存的机率变为了2/3. 那么，谁错了？

三扇门后汽车和羊和羊

当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率。会

假设1号门后面是山羊1号，主持人揭秘了山羊2号，那么换选择将获得汽车。

假设1号门后面是山羊2号，主持人揭秘山羊1号，那么换选择将获得汽车。

假设1号门后面是汽车，主持人揭秘其中一只山羊，那么换选择将获得山羊

五对夫妇举行家庭聚会 每一个人都可能和其他人握手, 但夫妇之间绝对不握手. 聚会结束时,A先生提问大家握手几次（很关键），结果是每个人的握手次数不相同。问A先生的太太握手几次

首先有一个隐含的信息，他们握手的次数分别是0，1，2，3，4，5，6，7，8。为什么呢?显然，握手次数是小于等于8的，因为10个人，自己不和自己握手，自己不和配偶握手，只能是10-2=8，刚刚好大家的都不同所以就是0-8了

其次，握手x次和握手8-x次的是一家人。抽象来说，俩夫妻握手总次数刚刚好铺满其他8人。

比如0次和8次是一家人。因为一个人握了0次手，说明他（她）没有和其他任何人握手，而握了8次手的人握了别家的所有人的手，如果握了8次手的这个人和握了0次手的这个人不是一家人，握了8次手的这个人就必然握过握了0次手的人，那么，握了0次手的人就被握了8次手的人握了1次，这就矛盾了。

再比如，握1次手的人和握7次手的人是一家人。因为现在大家都至少握过一次手了（和握过8次手的那个人握的），所以握过7次手的人必须和除了第一家和自己家的所有人握手，而握过1次手的人已经不能再和任何人握手了，因此，他们只能是一家人。其他同理。

接着，既然握手次数之和为8的必定是一对夫妻,九人中又没有两个人握手的次数相同,而0-8次握手里面没有配对成功的是4（成功的是0-8，1-7，2-6，3-5），所以只有A先生和A太太握手次数同为4次

两人玩游戏，在脑门上贴数字（正整数>=1），只看见对方的，看不见自己的，而且两人的数字相差1。两人的对话： A：我不知道 B：我也不知道 A：我知道了 B：我也知道了。问A头上的字是多少，B头上的字是多少？

每一个数n都是 有n-1和n+1两个相邻数，但是1只有一个2是相邻数

A3 B2

A：不知道 1 / 3

B：不知道 2 / 4

A： 若为1，则B不会不知道。——3

B：若为2，A从 2推3 —— 2

如果你是一名艾滋病患者，那么经过检测后，结果显示为阳性的概率为 99% 。如果你并没有携带艾滋病毒，经过检测后，结果显示为阳性的概率仅为 1% 。

阳性的情况（假阳+真有病）： 9999/10000 * 1% + 1/10000 * 99%

阳性真有病概率 ： 1/10000 * 99% / （ 9999/10000 * 1% + 1/10000 *99% ） 约1%

连续两次

阳性的情况（假阳+真有病）： 9999/10000 * 1%* 1% + 1/10000 * 99% * 99%

真有病概率 ： 1/10000 * 99% * 99% / （ 9999/10000 * 1% * 1% + 1/10000 * 99% * 99%） 约50%

某城市发生了一起汽车撞人逃跑事件，该城市只有两种颜色的车,蓝15%绿85%，事发时有一个人在现场看见了，他指证是蓝车，但是根据专家在现场分析,当时那种条件能看正确的可能性是80%那么,肇事的车是蓝车的概率到底是多少?

15%*80%/(85％×20％＋15%*80%)

共有三类药，分别重1g,2g,3g，放到若干个瓶子中，现在能确定每个瓶子中只有其中一种药，且每瓶中的药片足够多，能只称一次就知道各个瓶子中都是盛的哪类药吗？如果有4类药呢？5类呢？N类呢(N可数)？如果是共有m个瓶子盛着n类药呢(m，n为正整数，药的质量各不相同但各种药的质量已知)？你能只称一次就知道每瓶的药是什么吗？

1号瓶取出1片，2号瓶取出10片，3号瓶取出100片，上秤称，重量是一个三位数。其中个位数字对应1号瓶药片重量，十位数字对应2号瓶药片重量，百位数字对应3号瓶药片重量。

！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

十进制的1对应四进制的1，十进制的4对应四进制的10，十进制的16对应四进制的100

这与分别取1,10,100片最后用十进制的三位数表示没有本质的区别。

为什么用四进制？这是因为药片的最大的重量为3，在四进制中不存在某一位向前进位的问题，这样使每一位数字都刚好对应某一瓶药片的重量。

1号瓶取出1片，2号瓶取出(M+1)片，3号瓶取出(M+1)^2片，N号瓶取出(M+1)^(N-1)片，上秤称，再把重量用(M+1)进制数表示，即可从右到左读出1至N号瓶内药片的重量。

7克、2克砝码各一个,天平一只如何只用这些物品三次将140克的盐分成50、90克各一份?

第一次称出9克（7+2）,第二次用第一次称出的9克加7克的砝码得到16克,用前两次所得25克（16+9）,第三次可称出25克,这三次所得加在一起就是50克,余下就是90克.

你有两个罐子，50个红色弹球，50个蓝色弹球。随机选出一个罐子，随机选取出一个弹球放入罐子，怎么给红色弹球最大的选中机会？在你的计划中，得到红球的准确几率是多少？

罐1 ： 红1

罐2 ： 红49+蓝50

红概率 = 1/2 * 1 + 1/2 * 49 /（49+50） 约3/4

桌上有100个苹果，你和另一个人一起拿，一人一次，每次拿的数量大于等于1小于等于5，问：如何拿能保证最后一个苹果由你来拿？

分析：如果要保证拿最后一个，那么就得保证拿到第94个，以此类推，要拿第94个，就要保证拿到第88个、82、76、70...最后只要保证你拿到第四个就行了，所以看下面：

解答：只需要你先拿，第一次拿4个，以后看对方拿的个数，根据对方拿的个数，保证每轮对方和你拿的加起来是6就行了，其实就是保证你拿到4，还要拿到10,16...直到94

两位盲人 , 他们都各自买了两对黑袜和两对白袜，八对袜子的布质、大小完全相同，而每对袜都有一张商标纸连着。两位盲人不小心将八对袜子混在一起。 他们每人怎样才能取回黑袜和白袜各两对呢？

每一对分开，一人拿一只，因为袜子不分左右脚的；

有三筐水果，一筐装的全是苹果，第二筐装的全是橘子，第三筐是橘子与苹果混在一起。筐上的标签都是错的 , 你的任务是拿出其中一筐，从里面只拿一只水果，然后正确写出三筐水果的标签。

从标着“混合”标签的筐里拿一只水果，就可以知道另外两筐装的是什么水果了。

连续整数之和为1000的共有几组？

首先1000为一个解。连续数的平均值设为x，1000必须是x的整数倍。假如连续数的个数为偶数个，x就不是整数了。x的2倍只能是5，25，125才行。因为平均值为12.5,要连续80个达不到。125/2 = 62.5是可以的。即62，63，61，64，等等。连续数的个数为奇数时，平均值为整数。1000为平均值的奇数倍。1000 = 2×2×2×5×5×5；x可以为2，4，8，40，200排除后剩下40和200是可以的。所以答案为平均值为62.5，40，200，1000的4组整数。

有甲、乙两人，其中，甲只说假话，而不说真话；乙则是只说真话，不说假话。但是，他们两个人在回答别人的问题时，只通过点头与摇头来表示，不讲话。有一天，一个人面对两条路：A与B，其中一条路是通向京城的，而另一条路是通向一个小村庄的。这时，他面前站着甲与乙两人，但他不知道此人是甲还是乙，也不知道“点头”是表示“是”还是表示“否”。现在，他必须问一个问题，才可能断定出哪条路通向京城。那么，这个问题应该怎样问？

这个人只要站在A与B任何一条路上，然后，对着其中的一个人问：“如果我问他（甲、乙中的另外一个人）这条路通不通向京城，他会怎么回答？”如果甲与乙两个人都摇头的话，就往这条路向前走去，如果都点头，就往另一外一条走去。

甲、乙、丙三个人在一起做作业，有一道数学题比较难，当他们三个人都把自己的解法说出来以后，甲说：“我做错了。”乙说：“甲做对了。”丙说：“我做错了。” , 在一旁的丁看到他们的答案并听了她们的意见后说：“你们三个人中有一 个人做对了，有一个人说对了。”请问，他们三人中到底谁做对了？

假设丙做对了，那么甲、乙都做错了，这样，甲说的是正确的，乙、丙都说错了，符合条件，因此，丙做对了。

50名运动员按顺序排成一排，教练下令：“单数运动员出列！”剩下的运动 员重新排列编号，教练又下令：“单数运动员出列！”如此下去，最后只剩下一个人，他是几号运动员？最后剩下的又是谁？

教练下令“单数”运动员出列时，教练只要下5次命令，就能知道剩下的那个人。此人在下第五次令之前排序为2，在下4次令之前排序为4，在下3次令之前排序为8，在下2次令之前排序为16，在下1次令之前排序为32，即32位运动员。 因此：32号。

赵女士买了一些水果和小食品准备去看望一个朋友，谁知，这些水果和小食品被他的儿子们偷吃了，但她不知道是哪个儿子。为此，赵女士非常生气，就盘问4个儿子谁偷吃了水果和小食品。老大说道：“是老二吃的。”老二说道：“是老四偷吃的。”老三说道：“反正我没有偷吃。”老四说道：“老二在说谎。”这4个儿子中只有一个人说了实话，其他的3个都在撒谎。那么，到底是谁偷吃了这些水果和小食品？

是老三偷吃了水果和小食品，只有老四说了实话。用假设法分别假设老大、老二、老三、老四都说了实话，看是否与题意矛盾，就可以得出答案

某企业老板在对其员工的思维能力进行测试时出了这样一道题：某大型企业的员工人数在1700～1800之间，这些员工的人数如果被5除余3，如果被7除余4，如果被11除余6。那么，这个企业到底有多少员工？员工小王略想了一下便说出了答案，请问他是怎么算出来的？

对题目中所给的条件进行分析，假如把全体员工的人数扩大2倍，则它被5除余1，被7除余1，被11除余1，那么，余数就相同了。假设这个企业员工的人数在3400 - 3600之间，满足被5除余1，被7除余1，被11除余1的数是

( x - 1 ) % 5 ==0

( x - 1 ) % 7 ==0

( x - 1 ) % 11 ==0

lcm (5 , 7 , 11 ) = 35 * 11 = 385

385 * 9 = 3465

x = 3466，符合要求，所以这个企业共有1733个员工。

老师让幼儿园的小朋友排成一行，然后开始发水果。老师分发水果的方法是这样的：从左面第一个人开始，每隔2人发一个梨；从右边第一个人开始，每隔4人发一个苹果。如果分发后的结果有10个小朋友既得到了梨，又得到了苹果，那么这个幼儿园有多少个小朋友？

158个小朋友。10个小朋友拿到梨和苹果最少人数是（2+1）×（4+1）×（101）+1=136人，然后从左右两端开始向外延伸，假设梨和苹果都拿到的人为“1”，左右两边的延伸数分别为：3×5－3=12人，3×5－5=10人。所以，总人数为136+12+10=158。

有一个外地人路过一个小镇，此时天色已晚，于是他便去投宿。当他来到一个十字路口时，他知道肯定有一条路是通向宾馆的，可是路口却没有任何标记，只有三个小木牌。第一个木牌上写着：这条路上有宾馆。第二个木牌上写着：这条路上没有宾馆。第三个木牌上写着：那两个木牌有一个写的是事实，另一个是假的。相信我，我的话不会有错。假设你是这个投宿的人，按照第三个木牌的话为依据，你觉得你会找到宾馆吗？如果可以，那条路上有宾馆哪条路上有宾馆

假设第一个木牌是正确的，那么第一个小木牌所在的路上就有宾馆，第二条路上就没有宾馆，第二句话就该是真的，结果就有两句真话了；假设第二句话是正确的，那么第一句话就是假的，第一二条路上都没有宾馆，所以走第三条路，并且符合第三句所说，第一句是错误的，第二句是正确的。

有一富翁，为了确保自己的人身安全，雇了双胞胎兄弟两个作保镖。兄弟两个确实尽职尽责，为了保证主人的安全，他们做出如下行事准则：

a．每周一、二、三，哥哥说谎；

b．每逢四、五、六，弟弟说谎；

c．其他时间两人都说真话。

一天，富翁的一个朋友急着找富翁，他知道要想找到富翁只能问兄弟俩，并且他也知道兄弟俩个的做事准则，但不知道谁是哥哥，谁是弟弟。另外，如果要知道答案，就必须知道今天是星期几。于是他便问其中的一个人：昨天是谁说谎的日子？结果两人都说：是我说谎的日子。你能猜出今天是星期几吗？

首先分析，兄弟两个必定有一个人说真话，其次，如果两个人都说真话，那么今天就是星期日，但这是不可能的，因为如果是星期日，那么两个人都说真话，哥哥就说谎了。 假设哥哥说了真话，那么今天一定就是星期四，因为如果是星期四以前的任一天，他都得在今天再撒一次谎，如果今天星期三，那么昨天就是星期二，他昨天确实撒谎了，但今天也撒谎了，与假设不符，所以不可能是星期一、二、三。由此类推，今天也不会是星期五以后的日子，也不是星期日。 假设弟弟说了真话，弟弟是四五六说谎，那么先假设今天是星期一，昨天就是星期日，他说谎，与题设矛盾；今天星期二，昨天就是星期一，不合题意；用同样的方法可以去掉星期三的可能性。如果今天星期四，那么他今天就该撒谎了，他说昨天他撒谎，这是真话，符合题意。假设今天星期五，他原本应该撒谎但他却说真话，由“昨天我撒谎了”就知道不存在星期五、六、日的情况，综上所述，两个结论都是星期四，所以今天星期四。

对地理非常感兴趣的几个同学聚在一起研究地图。其中的一个同学在地图上标上了标号A、B、C、D、E，让其他的同学说出他所标的地方都是哪些城市。甲说：B是陕西。E是甘肃；乙说：B是湖北，D是山东；丙说：A是山东，E是吉林；丁说：C是湖北，D是吉林；戊说：B是甘肃，C是陕西。这五个人每人只答对了一个省，并且每个编号只有一个人答对。你知道ABCDE分别是哪几个省吗？

假设甲说的第一句话正确，那么B是陕西，戊的第一句话就是错误的，戊的第二句话就是正确的；C是陕西就不符合条件。甲说的第二句话正确。那么E就是甘肃。戊的第二句话就是正确的，C是陕西。同理便可推出A是山东，B是湖北，C是陕西，D是吉林，E是甘肃。

已知：有N架一样的飞机停靠在同一个机场，每架飞机都只有一个油箱，每箱油可使飞机绕地球飞半圈。注意：天空没有加油站，飞机之间只是可以相互 加油。 如果使某一架飞机平安地绕地球飞一圈，并安全地回到起飞时的机场，问：至少需要出动几架飞机？ 注：路途中间没有飞机场，每架飞机都必须安全返回起飞时的机场，不许中途降落。

一共需要6架飞机。假设绕地球一圈为1，3 架飞机同时顺时针飞，在1/8 处 油量为 3/4 3/4 3/4 其中一辆給另外两加满往回飞，此时油量为1，1，到1/4 处 油量为3/4，3/4， 加满一辆，另一辆往回 2/4 ，1，可以飞到3/4 的位置 此时油量为0

3架飞机往逆时针方向飞，在7/8 位置3/4， 3/4， 3/4 ，一架给另两加满然后往回飞 1，1，0，继续飞，在3/4 位置 油量为 3/4， 3/4， 0 ， 平衡一下 2/4 ，2/4 ，2/4 可以把之前的飞机接回去

两个直径分别是2和4的圆环，如果小圆在大圆内部绕大圆转一周，那么小圆自身转了几周？如果在大圆的外部转，小圆自身又要转几周呢？

小圆能转3周。 分析：两圆的直径分别为2、4，那么半径分别为1、2。假如把大圆剪开并 拉直，那么小圆绕大圆转一周，就变成从直线的一头移动到另一头。因为这条直线长就是大圆的周长，是小圆周长的2倍，所以小圆需要滚动2圈。 但现在小圆在沿大圆滚动的同时，自身还要作转动。小圆在沿着大圆滚动1周并回到原出发点的同时，小圆自身也转了1周。如果小圆在大圆的内部滚动，其自转的方向与滚动的转向相反，因此小圆自身转了1周；如果小圆在大圆的外部滚动，其自转的方向与滚动的转向相同，因此小圆自身转了3周。

在一个夜晚，同时有4人需要过一桥，一次最多只能通过两个人，且只有一只手电筒，而且每人的速度不同。A，B，C，D需要时间分别为：1，2，5，10分钟。问：在17分钟内这四个人怎么过桥？

总共是17分钟

第一步：A、B过花时间2分钟。

第二步：B回花时间2分钟。

第三步：C、D过花时间10分钟。

第四步：A回花时间1分钟。

第五步：A、B再过花时间2分钟。

红眼和蓝眼

规则：

知道自己眼睛颜色的人，必须在第二天中午自杀。

题目：村里有100人，95个蓝眼睛，5个红眼睛。村里任何人不能照镜子、不能交流眼睛颜色。有个路过的外乡人说：村里有红眼睛的人。

问题1：为什么外乡人走后5天，村里5个红眼睛的人都自杀了？

问题2：既然外乡人来之前，村里的每个人都知道村里有红眼睛的人，并且知道另外的每个人都知道村里有红眼睛的人, 为什么原来的时候，5个红眼睛的人不自杀？ 外乡人是否带来了新的信息呢？

问题1解答：

假设：

1 村里有1个红眼睛的人（记做A），外乡人不说话，则A不知道自己眼睛的颜色，不会自杀。

外乡人说村里有红眼睛的人，因为A看见其他人都不是红眼睛，立刻意识到自己是红眼睛，则自杀。

2 村里有2个红眼睛的人（记做A、B），外乡人不说话，则A、B推断不出自己眼睛的颜色，不会自杀。

外乡人说村里有红眼睛的人，A（B）看见只有B（A）一个红眼睛，以为第二天中午B（A）会自杀，结果没自杀，

则推断出自己为红眼睛，则第三天中午A、B一起自杀。

3 村里有3个红眼睛的人（记做A、B、C），外乡人不说话，则A、B、C推断不出自己眼睛的颜色，不会自杀。

外乡人说村里有红眼睛的人，A看见只有B、C两个个红眼睛，以为第三天中午B、C会一起自杀(3个人都是这样以为别人的)，

结果没自杀，则推断出自己为红眼睛，则第四天中午A、B、C一起自杀。

《《《《只有外乡人说村里有红眼睛的人后，A才能确定B知道C知道村里有红眼睛的人（村里有红眼睛的人成了“公共知识”），才能有以上的逻辑推断，否则不能推断。》》》》

不是公共知识，就不能用以上逻辑推算出自己眼睛的颜色，就不会自杀。

4 村里有4个、5个...N个红眼睛的情况依次类推。

问题2解答：

因为在外乡人来以前，村里有红眼睛的人不是“公共知识”。

公共知识是 公布、公示出来的知识，“所有人都知道所有人都知道所有人都知道。。。（即A1知道A2知道A3知道。。。An知道村里有红眼睛的人, 怎么传递都知道，涉及一个无穷的知道过程）”

“外乡人来之前，村里的每个人都知道村里有红眼睛的人，并且知道另外的每个人都知道村里有红眼睛的人”这不是公共知识 因为不能无限传递，也就不能传递推测。

举个例子：

假设村里只有3个人，并且都是红眼睛，分别为A、B、C。

则每个人自己心里都知道村里有红眼睛的人，并且知道另外的两个人知道村里有红眼睛的人。

但是A不知道B是否知道C知道村里有红眼睛的人，

（因为A不知道自己眼睛的颜色，会假设自己眼睛为其他颜色，B也不知道B自己眼睛的颜色，也会假设为其他颜色。

所以在A的角度想B猜测不出C知道村里有红眼睛的人）。

也就是村里有红眼睛的人不是公共知识，虽然3人都知道另外的两人知道村里有红眼睛的人，但是A不知道B是否知道C知道村里有红眼睛的人。

不是公共知识，就不能用“问题1解答”中的逻辑推算出自己眼睛的颜色，就不会自杀。

村里有4个红眼睛的人，也是类似，A不知道B是否知道C是否知道D知道村里有红眼睛的人，依次类推。

所以说，外乡人，带来了新的信息！！

一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什幺帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光。第一次关灯，没有声音。于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。一直到第三次关灯，才有劈劈啪啪打耳光的声音响起。问有多少人戴着黑帽子？

—— 病狗

三顶帽子时：

1. 第一次关灯，没有打耳光的声音 此时，每个人都不能确定自己是不是戴了黑帽子，那么肯定自己看到了别人戴了黑帽子（题设中已经说明一定有黑帽子），这些戴黑帽子的人也看到了别人戴了黑帽子，因此这里至少有两顶黑帽子；

2. 第二次关灯时，也没有打耳光的声音 此时，每个人都至少看到了两顶黑帽子（若只有一个人（设为 A）只看到一顶黑帽子（设为 B），而 A 第一次关灯没有听到打耳光的声音，就能判断 B 也看到了黑帽子，而 A 只看到一顶黑帽子，故可以判断自己就是戴了黑帽子，那么第二次关灯时自己会打自己耳光），因此戴了黑帽子的人也看到了至少两顶黑帽子，故至少有三顶黑帽子；

3. 第三次关灯时，有多人打了耳光 最后，戴黑帽子的人第二次关灯后确定自己戴了黑帽子，那么关键在于为什么能判断出自己戴了黑帽子，如果每个人看到戴黑帽子的人很多，那么肯定不能确定自己是不是黑帽子，因此戴黑帽子的人比较少，以至于可以确定自己戴了黑帽子，因此可以用排除法来确定黑帽子的数量。

假如只有一个人戴黑帽子，那他看到所有人都戴白帽，在第一次关灯时就 应自打耳光，所以应该不止一个人戴黑帽子；

如果有两顶黑帽子，第一次两人都只 看到对方头上的黑帽子，不敢确定自己的颜色，

但到第二次关灯，这两人应该明白 ，如果自己戴着白帽，那对方早在上一次就应打耳光了，因此自己戴的也是黑帽子 ，于是也会有耳光声响起；

可事实是第三次才响起了耳光声，说明全场不止两顶黑 帽，依此类推，应该是关了几次灯，有几顶黑帽。

在一个夜晚，同时有4人需要过一桥，一次最多只能通过两个人，且只有一只手电筒，而且每人的速度不同。A，B，C，D需要时间分别为：1，2，5，10分钟。问：在17分钟内这四个人怎么过桥？

ABCD —— —— 1 2 5 10

CD —— AB —— 12先过

BCD —— A —— 2回

B —— ACD —— 5 10过

AB —— CD —— 1回

—— ABCD —— 12过

书架上的书，摆的都是历史书，一本中国历史四册，一本厚5cm，其中封面和封底各0.5cm，如果一个虫子从第一本的第一页开始咬。直到第四本的最后一页

医生给了病人两种药丸，每种两颗，两种药丸的成分不同，但外观一样，医生要求早上和晚上，每种药各吃一颗。现在药丸被混在了一起，难以分辨。如果病人没按照规定吃药或者不吃药，就会死亡。请问他要怎么做才能活下来？

答案：虽然再去找医生，要求他重新开药，也不能说是错误答案。但聪明的答案是：把所有的4颗药丸都切开成相等的两半，然后早上和晚上，分别吃掉每颗药丸的一半

一个商人骑一头驴要穿越1000公里长的沙漠，去卖3000根胡萝卜。已知驴一次性可驮1000根胡萝卜，但每走一公里又要吃掉一根胡萝卜。问：商人共可卖出多少胡萝卜？

商人带驴驮1000根胡萝卜，先走250公里，这时，驴已吃250根，放下500根，原地返回，又吃掉250根。

商人再带驴驮1000根胡萝卜，走到250公里处，这时，驴已吃250根，再驮上原先放的500根中的250根，

继续前行至500公里处，这时，驴又吃250根，放下500根，剩250根返回250公里处，在驮上250公里处剩下的250根返回原地，这时驴又吃250根。

商人再带驴驮1000根胡萝卜，走到500公里处，这时，驴已吃500根，再驮上原先放的500根，走出沙漠，驴吃掉500根，还剩500根。

在9个点上画10条直线，要求每条直线上至少有三个点？

地球上存在多少个点，向南走一英里，向东走一英里，向北走一英里能够回到原点？

—— 特殊点：赤道、南极点和北极点

在南极点（北极点）向除北（南）以外的点前进都是原地转圈，

在南极点（北极点）附近向东、西方向前进则是绕着圆弧行走，故可以可以是回到原地

北极点和离南极点的XX远一圈

北极点或者只要距离南极点1+1/(2kπ)的所有点

有 100 栈灯，编号为 1~100，一开始灯都是开着的。之后依次进行以下操作：按下所有开关；按下编号为 2 的倍数的开关；按下编号为 3 的倍数的开关。请问，最后有多少灯是开着的？

1. 初始 f(x) 全 1。

2. 对于任意的 x，f(x) 变号； —— 全 0 了

3. 对于任意的 x，若 x|2（x 被 2 整除），则 f(x) 变号；

4. 对于任意的 x，若 x|3（x 被 3 整除），则 f(x) 变号；

5. 最后仍为1的，变奇数次

—— 编号为不是 2 的倍数，但是 3 的倍数的灯和编号是 2 的倍数，但不是 3 的倍数的灯处于打开状态

素数是关，其余是开。

一个圆盘被涂上了黑白两种颜色，两种颜色各占一个半圆，圆盘以一个未知的速度、按一个未知的方向旋转。现有一些颜色传感器（可以判断是黑色还是白色）可供使用。问如何用最少的传感器测试出圆盘是在顺时针转还是逆时针转？最少要用几个传感器？

顺时针：BWBWBW

逆时针：WBWBWB

2个——传感器不动

1个——只需让传感器顺时针 / 逆时针旋转时，观察传感器显示的颜色变化快慢即可判断圆盘的旋转方向。

—— 需要保证未知的速度匀速

有 12 枚一模一样的硬币，已知其中只有一枚是假币，并且假币和真币的重量不一样，问如何用一个天平把假币从这 12 枚硬币中找出来？最少要称几次？

将 12 枚硬币转化为 “2 枚硬币”

将 12 枚硬币转化为 “3 枚硬币”

—— 典型的分而治之的思想。

猎人与狐狸： 有五个一字排开的山洞，每个山洞除地理位置外其他一模一样，有一只狐狸会住在某个洞，而且每天晚上会换住到相邻的洞中，而一个猎人只能每天早上去一个洞抓狐狸，问猎人需要几天才能抓住狐狸，每天进哪个洞？

下面的几条原则：

● 不进 1、5 号洞 当狐狸在 1 或者 5 号洞时，我们可以确定狐狸下一次的所在地只有 2 或者 4，因此尽量不进 1、5 号洞，而尽量使狐狸在 1 或者 5 号洞。

● 若可以使得狐狸仅可能在 1、3、5 号洞则尽量使这种情况发生 若狐狸仅可能在 1、3、5 号洞，则之后仅可能在 2、4 号洞，就可以抓住狐狸了

● 尽量不在连续时间内重复进同一个洞 即今天进一个洞，明天就换一个洞，因为重复进一个洞对于情况的排除是不利的，除非剩下的情况比较简单。

这是一个经典的智力题 —— 234432

第一次抓第二个，不在二中，则在一三四五中，晚上只能跑到二三四五中，

第二次抓第三个，不在三中，则在二四五中，晚上跑到一三四五中，

第三次抓第四个，不在四中，则在一三五中，晚上跑到二四中，

第四次抓第四个，不在四中，则在二中，晚上跑到一三中，

第五次抓第三个，不在三中，则在一中，晚上跑到二中，

第六次抓第二个，一定能抓到。

所以最多六次就可以抓到

—— 注意今晚可能在的，和明晚可能在的，然后不断缩小可能

要找出一个序列，当然市越短越好了，所以我运用bfs的搜索方法来记录当天检查的洞，兔子可能的藏身之洞以及之前检查的洞。

1楼到n楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一。你乘坐电梯从1楼到n楼，每层楼电梯门都会打开一次，只能拿一次钻石，问怎样才能拿到「最大」的一颗？

—— 麦穗问题

人都是贪婪的，总想着后面还有更大的钻石，这道题没有标准答案。

参考答案：选择前五层楼都不拿，观察各层钻石的大小，做到心中有数。后面五个楼层再选择，选择大小接近前五层楼出现过最大钻石大小的钻石。

双木止月Tong：如何解决柏拉图摘麦穗问题 —— 爱情啊，真危险。

如果苏格拉底说摘麦穗可以摘多次，那么柏拉图肯定可以拿到最大的麦穗了，那就太没意义了……

如果我选择的钻石不选择我呢？

你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的7段 ，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你 的工人付费？

第一次弄断的长度是总长度的1/7，第二次弄断的长度是总长度的2/7，剩下总长度的4/7。

第一天给1/7，

第二天给2/7，让工人找还1/7，

第三天把1/7在给工人，

第四天给剩下的4/7，让工人找还1/7和2/7那两段，

第五天再给1/7那段，第六天给2/7那段，让工人找回1/7那段，第七天再把1/7那段给工人。

为了出现 1234567 —— 1 2 4的组合

请把一盒蛋糕切成8份，分给8个人，但蛋糕盒里还必须留有一份。

剩下的1份连蛋糕盒一起分

乍一看，这是不可能的事情嘛。一共就六块蛋糕，都分走了，哪儿再来一块放进盒子里呢？

稍微看一下题目即可知道，题目并没有要求送人蛋糕的时候只能包含蛋糕，那就意味着可以把一块蛋糕连同盒子一起送出去，这样，不就解决了有一块蛋糕留在盒子里的要求了吗。

问题：有若干堆石子，每堆石子的数量是有限的，二个人依次从这些石子堆中拿取任意的石子，至少一个（不能不取），最后一个拿光石子的人胜利。

答案：较复杂的尼姆博弈：https://blog.csdn.net/BBHHTT/article/details/80199541

1、我们首先以一堆为例： 假设现在只有一堆石子，你的最佳选择是将所有石子全部拿走，那么你就赢了。

2、如果是两堆：假设现在有两堆石子且数量不相同，那么你的最佳选择是取走多的那堆石子中多出来的那几个，使得两堆石子数量相同，这样，不管另一个怎么取，你都可以在另一堆中和他取相同的个数，这样的局面你就是必胜。比如有两堆石子，第一堆有3个，第二堆有5个，这时候你要拿走第二堆的三个，然后两堆就都变成了3个，这时你的对手无论怎么操作，你都可以“学”他，比如他在第一堆拿走两个，你就在第二堆拿走两个，这样你就是稳赢的

3、如果是三堆 ，我们用（a，b，c）表示某种局势，首 先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是 （0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一

下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情型。

从中我们要明白两个理论：

一个状态是必败状态当且仅当它的所有后继都是必胜状态

一个状态是必胜状态当且仅当它至少有一个后继是必败状态

有了这两个规则，就可以用递推的方法判断整个状态图的每一个结点都是必胜还是必败状态。

有三个人去住旅馆，住 三间房，每一间房?元，于是他们一共付给老板?，第二天，老板觉得三间房只需要?元就够了于是叫小弟退回?给三位客人，谁知小弟贪心,只退 回每人?，自己偷偷拿了ū，这样一来便等于那三位客人每人各花了九元，于是三个人一共花了?，再加上小弟独吞了，总共是?。可是当初他 们三个人一共付出?那么还有?呢？

应该是三个人付了9*3=27，其中2付给了小弟，25付给了老板

有23枚硬币在桌上，10枚正面朝上。假设别人蒙住你的眼睛，而你的手又摸不出硬币的反正面。让你用最好的方法把这些硬币分成两堆，每堆正面朝上的硬币个数相同。

分成10＋13两堆， 然后翻转10的那堆

假设13个一堆的有x个正面朝上的，那么10个一堆的则有(10-x)个正面朝上的。这时把10个一堆的全部翻转，正面的变成反面的，反面的变成正面的，则正面朝上的有10-(10-x)个，即x个。所以13个一堆的正面朝上的有x个，10个一堆的正面朝上的也有x个，x = x，即两边正面朝上的个数相同。

这道题考验的是人的逆向思维。

两个空心球，大小及重量相同，但材料不同。一个是金，一个是铅。空心球表面图有相同颜色的油漆。现在要求在不破坏表面油漆的条件下用简易方法指出哪个是金的，哪个是铅的。

旋转看速度，金的密度大，质量相同，所以金球的实际体积较小，因为外半径相同，所以金球的内半径较大，所以金球的转动惯量大，在相同的外加力矩之下，金球的角加速度较小，所以转得慢。

猴子爬绳力学怪题：一根绳子穿过无摩擦力的滑轮，在其一端悬挂着一只10磅重的砝码，绳子的另一端有只猴子，同砝码正好取得平衡。当猴子开始向上爬时，砝码将如何动作呢?

"真奇怪，"卡罗尔写道，"许多优秀的数学家给出了截然不同的答案。

普赖斯认为砝码将向上升，而且速度越来越快。

克利夫顿(还有哈考特)则认为，砝码将以与猴子一样的速度向上升起。

普森却说，砝码将会向下降!"

一位杰出的机械工程师说"这不会比苍蝇在绳子上爬更起作用"，

一位科学家却认为"砝码的上升或下降将取决于猴子吃苹果速度的倒数"，然而还得从中求出猴子尾巴的平方根。严肃地说，这道题目非常有趣，值得认真推敲。它很能说明趣题与力学问题之间的紧密联系。

砝码将以与猴子相同的速度上升，因为它们质量相同，受力也相同。

一天，harlan的店里来了一位顾客，挑了25元的货，顾客拿出100元，harlan没零钱找不开，就到隔壁飞白的店里把这100元换成零钱，回来给顾客找了75元零钱。过一会，飞白来找harlan，说刚才的是假钱，harlan马上给飞白换了张真钱，问harlan赔了多少钱？

100 == 25 + 75

从harlan的得失，会比较容易使头脑混乱，不如从顾客与飞白入手。

顾客：100元假钱 = 25元货 + 75元真钱，赚到了25元货和75元真钱；

飞白：100元真钱 = 100元假钱，发现是假钱后，100元假钱 = 100元真钱，无损失；

从守恒的角度出发，顾客赚到的就是harlan损失的，准确的说，harlan损失的不是100元，因为25元货的成本价并不知道。

结论：harlan赔了：75元 + 25元货的成本价；

飞白给了店主100真零钱，最后又要回去了，所以没损失

从前有一位老钟表匠，为一个教堂装一只大钟。他年老眼花，把长短针装配错了，短针走的速度反而是长针的12倍。装配的时候是上午6点，他把短针指在“6 ”上，长针指在“12”上。老钟表匠装好就回家去了。人们看这钟一会儿7点，过了不一会儿就8点了，都很奇怪，立刻去找老钟表匠。等老钟表匠赶到，已经是下午7点多钟。他掏出怀表来一对，钟准确无误，疑心人们有意捉弄他，一生气就回去了。这钟还是8点、9点地跑，人们再去找钟表匠。老钟表匠第二天早晨8点多赶来用表一对，仍旧准确无误。请你想一想，老钟表匠第一次对表的时候是7点几分？第二次对表又是8点几分？

这题不用计算就可以得出结论，因为长短针装错了，可以认为此时的短针是分针，长针是时针，

由于只需要看是几分即可，那只需要看此时相当于时针的长针

（人们看到走得快的认为是时针的短针其实不是时针），

钟表匠是7点多到了的，那么实际过了13个小时，那此时长针（看成是时针），实际上走了13个格子，

初始在12，走了13个格子，来到了1处，人们看到的是5分，

同样，第二次是早上8点，相比于晚上7点又是走了13个小时，类似的，时针来到了2处，人们看到的是10分

第一次是7点05分，第二次是8点10分

有三个桶，两个大的可装8斤的水，一个小的可装3斤的水，现在有16斤水装满了两大桶就是8斤的桶，小桶空着，如何把这16斤水分给4个人，每人4斤。没有其他任何工具，4人自备容器，分出去的水不可再要回来。

表示为880，接下来，将一个大桶的水倒入小桶中，倒满，表示为853，（第2个大桶减3，小桶加3）则过程如下：

880——853：将3斤给第1个人，变为850（此时4人分别有水3-0-0-0）

850——823：将2斤给第2个人，变为803（此时4人分别有水3-2-0-0）

803——830——533——560——263——281：将1斤给第1个人，变为280（此时4人分别有水4-2-0-0）

280——253——703——730——433——460——163：将1斤给第3个人，变为063（此时4人分别有水4-2-1-0）

063——081：将1斤给第4个人，变为080（此时4人分别有水4-2-1-1）

080——053——350——323：将2斤给第2个人，将2个3斤分别给第3、4个人，（此时4人分别有水4-4-4-4）

题

一个巨大的圆形水池，周围布满了老鼠洞。猫追老鼠到水池边，老鼠未来得及进洞就掉入水池里。猫继续沿水池边缘企图捉住老鼠（猫不入水）。已知V猫=4V鼠。问老鼠是否有办法摆脱猫的追逐？

第一步：游到水池中心。

第二步：从水池中心游到距中心R/4处，并始终保持鼠、水池中心、猫在一直线上。

第三步：沿与中心相反方向的直线游3R/4就可以到达水池边，而猫沿圆周到达那里需要3.14R，所以捉不到老鼠。

有一个大西瓜,用水果刀平整地切,总共切9刀,最多能切成多少份,最少能切成多少份?主要是过程，结果并不是最重要的

最少10，最多130

见下表，表中蓝色部分服从2为底的指数函数规律，红色部分的数值均为其左边与左上角的两个数之和。

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x个点最多能把直线分成多少部分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x条直线最多能把平面分成多少部分 1 2 4 7 11 16 22 29 37 46

x个平面最多能把空间分成多少部分 1 2 4 8 15 26 42 64 93 130

1，11，21，1211，111221，下一个数是什么？

下行是对上一行的解释 所以新的应该是3个1 2个2 1个1 ：312211

十年可能包含2-3个闰年，3652或3653天。

芯片测试：有2k块芯片，已知好芯片比坏芯片多．请设计算法从其中找出一片 好芯片，说明你所用的比较次数上限． 其中：好芯片和其它芯片比较时，能正确给出另一块芯片是好还是坏． 坏芯片和其它芯片比较时，会随机的给出好或是坏。

比较

和好比较：1 期望—— 1/2

和坏比较：1 或 0 期望—— 1/4 1/4

结果为好：3/4～4/4

结果为坏：1/4～1/2

把第一块芯片与其它逐一对比，看看其它芯片对第一块芯片给出的是好是坏，如果给出是好的过半，那么说明这是好芯片，完毕。如果给出的是坏的过半，说明第一块芯片是坏的，那么就要在那些在给出第一块芯片是坏的芯片中，重复上述步骤，直到找到好的芯片为止。

有一种体育竞赛共含M个项目，有运动员A，B，C参加，在每一项目中，第一,第二,第三名分别的X，Y，Z分，其中X,Y,Z为正整数且X>Y>Z。最后A得22分，B与C均得9分，B在百米赛中取得第一。求M的值，并问在跳高中谁得第二名。

因为ABC三人得分共40分,三名得分都为正整数且不等,所以前三名得分最少为6分,

40=5*8=4*10=2*20=1*20,不难得出项目数只能是5.即M=5.

A得分为22分,共5项,所以每项第一名得分只能是5,

故A应得4个一名一个二名.22=5*4+2,第二名得1分,又B百米得第一,所以A只能得这个第二.

B的5项共9分,其中百米第一5分,其它4项全是1分,9=5+1=1+1+1.即B除百米第一外全是第三,跳高第二必定是C所得.

1=5，2=15，3=215，4=2145那么5=?

因为1=5，所以5=1．

有一人有240公斤水，他想运往干旱地区赚钱。他每次最多携带60公斤，并且每前进一公里须耗水1公斤（均匀耗水）。假设水的价格在出发地为0，以后，与运输路程成正比，（即在10公里处为10元/公斤，在20公里处为20元/公斤......），又假设他必须安全返回，请问，他最多可赚多少钱？

f(x)=(60-2x)*x,当x=15时，有最大值450。

受益=剩下水×价格

450×4

题目：有2n个人排队进电影院，票价是50美分。在这2n个人当中，其中n个人只有50美分，另外n个人有1美元（纸票子）。愚蠢的电影院开始卖票时1分钱也没有。问： 有多少种排队方法 使得 每当一个拥有1美元买票时，电影院都有50美分找钱

如果不考虑电影院能否找钱，那么一共有(2n)!/[n!n!]种排队方法（即从2n个人中取出n个人的组合数），对于每一种排队方法，如果他会导致电影院无法找钱，则称为不合格的，这种的排队方法有(2n)!/[(n-1)!(n+1)!]（从2n个人中取出n-1个人的组合数）种，所以合格的排队种数就是(2n)!/[n!n!]- (2n)!/[(n-1)!(n+1)!] =(2n)!/[n!(n+1)!]。

本题结果就是卡塔兰数的通项公式

卡塔兰数的通项公式为 C[n] = (2n)! /( (n+1)! * n! )

五个大小相同的一元人民币硬币。要求两两相接触，应该怎么摆？

底下放一个1，然后2 3放在1上面，另外的4 5竖起来放在1的上面。

一个球、一把长度大约是球的直径2/3长度的直尺.你怎样测出球的半径？

球在水平面上，支持垂直于水平面，靠近球体，接触点到桌面的距离为半径，再乘以2即可。

—— 切

用直尺在地上画一条与尺一样长的线段，将球放在线段的一个端点上，

再将直尺立在线段上慢慢移向球，当挨到球时停下，做上记号，拿开球，用直尺量放球的端点到记号处的距离，则是球的半径。

—— 投影

一间囚房里关押着两个犯人。每天监狱都会为这间囚房提供一罐汤，让这两个犯人自己来分。起初，这两个人经常会发生争执，因为他们总是有人认为对方的汤比自己的多。后来他们找到了一个两全其美的办法：一个人分汤，让另一个人先选。于是争端就这么解决了。可是，现在这间囚房里又加进来一个新犯人，现在是三个人来分汤。必须寻找一个新的方法来维持他们之间的和平。该怎么办呢？按：心理问题，不是逻辑问题

是让甲分汤，分好后由乙和丙按任意顺序给自己挑汤，剩余一碗留给甲。

这样乙和丙两人的总和肯定是他们两人可拿到的最大。

然后将他们两人的汤混合之后再按两人的方法再次分汤。

在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠；当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖。

要想让新放的硬币不与原先的硬币重叠，两个硬币的圆心距必须大于直径。

也就是说，对于桌面上任意一点，到最近的圆心的距离都小于2，

所以，整个桌面可以用n个半径为2的硬币覆盖。

把桌面和硬币的尺度都缩小一倍，那么，长、宽各是原桌面一半的小桌面，

就可以用n个半径为1的硬币覆盖。那么，把原来的桌子分割成相等的4块小桌子，

那么每块小桌子都可以用n个半径为1的硬币覆盖，

因此