题解 | I Non-Puzzle: Segment Pair

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$\mathcal{D}escription\backslash mathcal\{Description\}$

给$nn$对区间，要求每对区间恰好选一个使得选出来的$nn$个区间有交集，问有多少方案数 $1\le n,l_i,r_i\le 5\times 10^{5}1\backslash le\; n,\; l\_i,r\_i\backslash le\; 5\times 10^5$

$\mathcal{S}olution\backslash mathcal\{Solution\}$

注意到区间的值域也是$5\times 10^{5}5\times 10^5$，考虑从值域入手，也就是枚举每个点看有多少种方案使最后的交集包含这个点

设有$kk$对区间的两个区间都包含这个点，那么就有$2^{k}2^k$种方案

显然，这样的方案会算重，因为不同的点可能对应相同的选择方案，考虑当前枚举的点是$ii$，假设$i-1i-1$对应的方案数为$2^{m}2^m$，如果点$ii$相比点$i-1i-1$没有新增的区间，也没有减少区间，那么$ii$和$i-1i-1$方案数是完全一样的，如果$ii$比$i-1i-1$新增了一些区间并没有减少区间，那么$ii$对应的方案数是包含了$i-1i-1$对应的方案数的，新增的方案数是二者的差$2^k-2^{m}2^k-2^m$，而如果减少了一些区间，那么我们记减少了后对应的方案数为$2^{p}2^p$，新增的方案数仍然是二者的差$2^k-2^{p}2^k-2^p$，我们只需维护这个过程即可，总复杂度$O(n)O(n)$

$\mathcal{C}ode\backslash mathcal\{Code\}$

#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn = 5e5 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, k, ans;
int num[maxn], mi[maxn];
vector <int> in[maxn], out[maxn];
int mo (int x)
{
    if (x >= mod)   return x - mod;
    return x;
}
int main ()
{
    scanf("%d", &n);
    mi[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)    mi[i] = mo(mi[i - 1] << 1);
    for (int i = 1, l, r; i <= n; ++i) {
        scanf("%d%d", &l, &r);
        in[l].push_back(i), out[r + 1].push_back(i);
        scanf("%d%d", &l, &r);
        in[l].push_back(i), out[r + 1].push_back(i);
    }
    int tot = 0, mx = 500000, lst = mx + 1;
    for (int i = 1; i <= mx; ++i) {
        for (int v : out[i]) {
            if (num[v] == 2)    --k;
            --num[v];
            if (!num[v])    --tot;
        }
        if (tot < n)	lst = mx + 1;
        else	lst = k;
        for (int v : in[i]) {
            if (!num[v])    ++tot;
            ++num[v];
            if (num[v] == 2)    ++k;
            if (tot == n) {
				if(lst == mx + 1 || k > lst)    ans = mo(mo(ans + mod - mi[lst]) + mi[k]);
				lst = k;
			}
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

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