C（等差数列）

C.idol!!

题目大意：

求解：1!!* 2!!······ n!! 的值末尾0的个数；

题意转化：

末尾0的个数就是几个10的相乘，就是10的个数，由于10=2*5,所以就是求解质因数2和5的个数；但由于2一定比5多，所以就直接转化为求解5的个数；

比赛的时候想到了等差数列求解5的个数，竟然没想到5的次方的个数咋求解；

题解思路：

先说下如何采用等差数列求解5的个数；

分两种情况：求解奇数中5的个数，求解偶数中5的个数

对于奇数：

对于偶数:

暂时先不考虑5的次方的情况（就是一个数中包含几个5的情况，比如说25）很容易看出来就是首项为5，公差为5的等差数列；

所以单纯求5的个数的代码如下：

void solve()
{
    cin>>n;
    int sum1=n/2+1-2,sum2=n/2-4;//求需要求的奇数和偶数的个数

    int cnt1=sum1/5,cnt2=sum2/5;//求等差数列求和的项数
    int n1=sum1%5,n2=sum2%5;//单独多出来的几项

    int ans1=0,ans2=0;
    ans1+=5*(1+cnt1)*cnt1/2,ans2+=5*(1+cnt2)*cnt2/2;//等差数列求和，首项加末项乘以项数除以2
    ans1+=(cnt1+1)*n1,      ans2+=(cnt2+1)*n2;      //加上多余的几项，多余的几项肯定比前几项最后一个大一

    if(sum1<0) ans1=0;
    if(sum2<0) ans2=0;

    cout<<ans1+ans2<<endl;
}

再思考要是有25，50，75,125一个数中含有多个5的情况，该如何求解；

例如：对于25以后的数都会含有25，多以都会含有5^2；一下只考虑5^2的情况的个数为

举完例子后发现是25个数后才会多出一个5^2，因为这时候才会出现一个25的倍数，

这种情况就为以25为首项，25为公差的等差数列；同理可得偶数的情况也是同样的；

那么只需要依次求解出5,5^2,5^3···的个数和就是答案，记录第一次出现的位置就可以了，然后用n-第一次出现的位置就知道对应的情况有多少个数了，然后同样用求解5的个数的方法求解其他情况即可；

代码如下：

#define int128 __int128_t
void print(int128 x){
     if(x<0)x=-x,putchar('-');
     if(x>9)print(x/10);
     putchar(x%10+'0');
}

int128 sub(int128 n,int128 k){
    int128 cur=1,w=1,ans=0;
    while(1){
        w*=5;
        cur=cur*5-k;//难点，这个可能比较难想到，但可以换种写法一样的，比如说偶数是w，奇数就是（w+1）/2,w就是上面那个w
        if(cur>n) break;
        int128 cnt=(n-cur+1)/w;//等差数列求和
        int128 sum=(n-cur+1)%w;
        ans+=w*(1+cnt)*cnt/2;
        ans+=(cnt+1)*sum;
    }
    return ans;
}

void solve(){
    cin>>n;
    int128 ans=0;
    ans+=sub(n/2,0);
    ans+=sub((n+1)/2,2);
    print(ans);
}