Day58：反向传播与优化算法

在上一节中，我们介绍了全连接神经网络，也完成了搭建任务。但是这样的矩阵参数并不能达到我们的要求，因此这一节中我们就讲一讲优化算法。在深度神经网络中，反向传播算法是一种用于优化网络参数的关键算法。它通过计算损失函数对每个参数的梯度，然后使用梯度下降或其他优化算法来更新参数，以最小化损失函数。

1. 数学推导

反向传播算法的数学推导涉及到链式法则和梯度计算。下面是反向传播算法的算法步骤：

• 步骤1：前向传播计算每一层的输出。
• 步骤2：计算输出层的损失函数关于输出的梯度。
• 步骤3：使用链式法则逐层计算每个参数的梯度。
• 步骤4：使用梯度下降或其他优化算法更新参数。

详细的推导过程如下：

假设我们有一个具有L层的神经网络，每一层的输出为 $a^{[l]}a^\{[l]\}$，参数为 $W^{[l]}W^\{[l]\}$和 $b^{[l]}b^\{[l]\}$，损失函数为 $LL$。

在前向传播中，我们根据当前的参数计算每一层的输出： $Z^{[l]}=W^{[l]}\cdot A^{[l-1]}+b^{[l]}{A}^{[l]}=g^{[l]}(Z^{[l]})Z^\{[l]\}\; =\; W^\{[l]\}\; \backslash cdot\; A^\{[l-1]\}\; +\; b^\{[l]\}A^\{[l]\}\; =\; g^\{[l]\}(Z^\{[l]\})$

其中， $g^{[l]}()g^\{[l]\}()$表示第l层的激活函数。

在反向传播中，我们首先计算输出层的梯度： $d{Z}^{[L]}=\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{A}^{[L]}}\cdot g^{\mathrm{\prime }[L]}(Z^{[L]})dZ^\{[L]\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; A^\{[L]\}\}\; \backslash cdot\; g\text{'}^\{[L]\}(Z^\{[L]\})$

然后，使用链式法则逐层计算每个参数的梯度： $d{W}^{[l]}=\frac{1}{m}d{Z}^{[l]}\cdot A^{[l-1]T}d{b}^{[l]}=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^{m}d{Z}^{[l]}d{A}^{[l-1]}=W^{[l]T}\cdot d{Z}^{[l]}dW^\{[l]\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{m\}\; dZ^\{[l]\}\; \backslash cdot\; A^\{[l-1]T\}db^\{[l]\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{m\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{m\}\; dZ^\{[l]\}dA^\{[l-1]\}\; =\; W^\{[l]T\}\; \backslash cdot\; dZ^\{[l]\}$

其中，m表示训练样本的数量。

最后，使用梯度下降或其他优化算法更新参数： $$