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根据题目要求，我们需要证明：

${}_{n\to \mathrm{\infty }}{\int }_0^1{x}^{n}f(x),dx\cdot n=f(1)\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash int\_0^1\; x^n\; f(x)\; ,\; dx\; \backslash cdot\; n\; =\; f(1)$

由于$f(x)f(x)$在$[0,1][0,1]$上连续，因此$f(x)f(x)$在$[0,1][0,1]$上有界，即存在一个正常数$MM$，使得对于任意$x\in [0,1]x\; \backslash in\; [0,1]$，都有$\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }\le M|f(x)|\; \backslash leq\; M$。

考虑将$x^{n}x^n$拆分为$x^n-1+1x^n\; -\; 1\; +\; 1$，即：

$x^n=(x-1+1{)}^n={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)(x-1{)}^k{1}^{n-k}x^n\; =\; (x-1+1)^n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\; \backslash binom\{n\}\{k\}\; (x-1)^k\; 1^\{n-k\}$

因此，我们可以将积分拆分为两部分，即：

${\int }_0^1{x}^{n}f(x),dx={\int }_0^1(x^n-1+1)f(x),dx={\int }_0^1(x^n-1)f(x),dx+{\int }_0^{1}f(x),dx\backslash int\_0^1\; x^n\; f(x)\; ,\; dx\; =\; \backslash int\_0^1\; (x^n\; -\; 1\; +\; 1)\; f(x)\; ,\; dx\; =\; \backslash int\_0^1\; (x^n\; -\; 1)\; f(x)\; ,\; dx\; +\; \backslash int\_0^1\; f(x)\; ,\; dx$

对于第一个积分，我们有：

$\mathrm{\mid }{\int }_0^1(x^n-1)f(x),dx\mathrm{\mid }\le {\int }_0^1\mathrm{\mid }{x}^n-1\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid },dx\le M{\int }_0^1\mathrm{\mid }{x}^n-1\mathrm{\mid },dx|\backslash int\_0^1\; (x^n\; -\; 1)\; f(x)\; ,\; dx|\; \backslash leq\; \backslash int\_0^1\; |x^n\; -\; 1|\; |f(x)|\; ,\; dx\; \backslash leq\; M\; \backslash int\_0^1\; |x^n\; -\; 1|\; ,\; dx$

接下来，我们考虑使用积分中值定理来估计上式。对于$x\in [0,1]x\; \backslash in\; [0,1]$，存在一个${\xi }_x\in (0,1)\backslash xi\_x\; \backslash in\; (0,1)$，使得：

$x^n-1=n{\xi }_x^{n-1}(x-1)x^n\; -\; 1\; =\; n\; \backslash xi\_x^\{n-1\}\; (x-1)$

因此，我们有：

$\mathrm{\mid }{\int }_0^1(x^n-1)f(x),dx\mathrm{\mid }\le M{\int }_0^{1}n\mathrm{\mid }{\xi }_x^{n-1}(x-1)\mathrm{\mid },dx=Mn{\int }_0^1\mathrm{\mid }{\xi }_x^{n-1}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid },dx|\backslash int\_0^1\; (x^n\; -\; 1)\; f(x)\; ,\; dx|\; \backslash leq\; M\; \backslash int\_0^1\; n\; |\backslash xi\_x^\{n-1\}\; (x-1)|\; ,\; dx\; =\; Mn\; \backslash int\_0^1\; |\backslash xi\_x^\{n-1\}|\; |x-1|\; ,\; dx$

当$nn$趋近于无穷时，$\mathrm{\mid }{\xi }_x^{n-1}\mathrm{\mid }|\backslash xi\_x^\{n-1\}|$趋近于$00$，因此对于足够大的$nn$，我们有：

$\mathrm{\mid }{\int }_0^1(x^n-1)f(x),dx\mathrm{\mid }\le Mn{\int }_0^1\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid },dx=\frac{Mn}{2}|\backslash int\_0^1\; (x^n\; -\; 1)\; f(x)\; ,\; dx|\; \backslash leq\; Mn\; \backslash int\_0^1\; |x-1|\; ,\; dx\; =\; \backslash frac\{Mn\}\{2\}$

对于第二个积分，我们有：

${\int }_0^{1}f(x),dx={\int }_0^1(f(x)-f(1)),dx+f(1)\backslash int\_0^1\; f(x)\; ,\; dx\; =\; \backslash int\_0^1\; (f(x)\; -\; f(1))\; ,\; dx\; +\; f(1)$

由于$f(x)f(x)$在$[0,1][0,1]$上连续，因此对于任意$ϵ>0\backslash epsilon\; >\; 0$，存在一个$\delta >0\backslash delta\; >\; 0$，使得当时，。因此，对于足够大的$nn$，我们有：

因此，我们有：

$\mathrm{\mid }{\int }_0^{1}f(x),dx-f(1)\mathrm{\mid }\le ϵ(1-\delta )+2M\delta |\backslash int\_0^1\; f(x)\; ,\; dx\; -\; f(1)|\; \backslash leq\; \backslash epsilon\; (1-\backslash delta)\; +\; 2M\backslash delta$

当$ϵ\to 0\backslash epsilon\; \backslash to\; 0$和$\delta \to 0\backslash delta\; \backslash to\; 0$时，上式趋近于$00$，因此我们有：

${}_{n\to \mathrm{\infty }}{\int }_0^1{x}^{n}f(x),dx\cdot n={}_{n\to \mathrm{\infty }}n[{\int }_0^1(x^n-1)f(x),dx+{\int }_0^{1}f(x),dx]=f(1)\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash int\_0^1\; x^n\; f(x)\; ,\; dx\; \backslash cdot\; n\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; n\; \backslash left[\backslash int\_0^1\; (x^n\; -\; 1)\; f(x)\; ,\; dx\; +\; \backslash int\_0^1\; f(x)\; ,\; dx\; \backslash right]\; =\; f(1)$

证毕。