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一：关系代数的基本概念

关系代数：是一种抽象的查询语言，用于对关系运算来表达查询

关系代数的运算对象和运算结果都是关系，所用到运算符可分为如下两种

• 传统的集合运算：运算从行的角度进行
• 专门的关系运算：运算同时涉及行和列

二：传统的集合运算

严格的定义这里不再给出，可借助课本。我的目的就是能帮助快速理解即可

（1）并（union）

并：对于关系$RR$和$SS$，并操作就是将两个关系上下拼在一起形成一个新的关系，记为$RR$∪$SS$

• 所以两个关系具有相同数目的属性

（2）差（except）

差：对于关系$RR$和$SS$，求他们的差，就是在$RR$中去掉两个关系中所有相同的行，形成一个新的关系，记为$RR$-$SS$

（3）交（intersection）

交：对于关系$RR$和$SS$，求他们的交，就是选出两个关系中所有相同的行，形成一个新的关系，记为$RR$∩$SS$

• 所以$RR$∩$SS$=$RR$-$(R-S)(R-S)$

（4）笛卡尔积（cartersian product）

笛卡尔积：对于关系$RR$和$SS$，求他们的笛卡尔积，就是两个关系所有元组的不同排列组合，形成一个新的关系，记为$RR$×$SS$

三：专门的关系运算

注意：在下面的叙述中有时会用到如下三种关系

• 学生关系Student
• 课程关系Course
• 选修关系SC

（1）选择（selection）

选择：从行的角度出发，在关系$RR$中选择满足条件的元组然后组成新的关系。“满足条件”意味着有条件表达式，其运算符如下

例如可在关系Student中查询所有IS系的学生，查询结果形成一个关系，记为${\sigma }_{Sdept{=}_{{}^{\mathrm{\prime }}I{S}^{\mathrm{\prime }}}}(Student)\sigma \_\{Sdept=\_\{\text{'}IS\text{'}\}\}(Student)$

再比如可在关系Student中查询所有年龄小于20的学生，查询结果形成一个关系，记为

（2）投影（projection）

选择：从列的角度出发，选择满足条件的若干属性列组成新的关系

• 投影之后取消了原关系中的某些列，当然也有可能会取消某些元祖（因为一旦取消了某些属性列后就极有可能出现重复行），所以一定注意消除完全相同的行

例如在关系Student中查询姓名和所在系的投影，记为${\prod }_{Sname,Sdept}(Student)\prod \_\{Sname,Sdept\}(Student)$

再比如在关系Student中查询都有哪些系，记为${\prod }_{Sdept}(Student)\prod \_\{Sdept\}(Student)$

• 注意投影要取消重复的CS元组

（3）连接（join）

A：等值连接和自然连接

等值连接：可以按照如下步骤考虑，最终形成新的关系，记为

• 首先找到关系$RR$和$SS$中属性相同的列
• 然后找到两列中相同的元素
• 将相同元素所在的行组成新的一行，需要用【关系.属性】的格式区两个关系中相同的属性

自然连接：它是一种特殊的等值连接，在等值连接的结果中去掉重复列即可

B：外连接

悬浮元组的概念：$RR$和$SS$在做自然连接时，$RR$中某些元组有可能在$SS$中不存在公共属性上值相等的元组，就会造成$RR$中这些元组在操作时被舍弃（反过来$SS$也是这样）。例如上图自然连接中就舍弃了$RR$的第4个元组和$SS$的第5个元组

外连接：若将悬浮元组保留在自然连接的结果中，而在其他属性上填NULL，那么这种连接就叫做外连接，同时

• 左外连接：只保留左边关系$RR$中的悬浮元组
• 右外连接：只保留右边关系$RR$中的悬浮元组

（4）除（division）

除：是笛卡尔积的逆运算，对于关系$RR$和$SS$，求$RR$÷$SS$可按如下步骤考虑

• 研究对象是$RR$和$SS$中相同的属性列
• 在$RR$中挑选元祖，所挑选的元组一定满足它的属性均出现在$SS$对应相同属性列的所有属性集合内