大家好呀，本帅蛋又来啦！

之前我带大家玩转的数组、单链表、栈和队列都是线性结构，实际情况是除了线性结构还有很多的非线性结构存在。

今天来讲的二叉树，就是非线性结构的典型代表，这种数据结构比又硬又直的线性数据结构复杂的多：概念多、内容多、代码多、屁事多...

是不是吓住了？不慌，不慌，有蛋在，不迷茫。

接下来我会一点点儿的掰碎了嚼烂了讲，保证把同学们伺候的舒舒服服的。

蛋话不多说，小葵蛋课堂开课了！

这篇是我在牛客网连载系列 #帅蛋的数据结构与算法空间#的第 10 篇文章，欢迎大家关注。

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树

在讲二叉树之前，肯定要先认识下它祖宗，树，英文名叫 Tree，长下面这样：

节点类型

树中的每个元素叫做节点，就是图中你看到的一个个圆圈。

树里的节点类型有点多，看着上面这张图，从上到下，我把几个概念讲一下：

父节点 / 子节点

谁指向谁，指向的就是父节点，被指向的是子节点。

你看上图里面，A 就可以对 B 说“我是嫩爹”，B 就只能对 A 说“好的，爸爸”。

兄弟节点

一个节点的所有子节点之间互相称为兄弟节点。

上图中节点 B、C 是 A 的子节点，节点 B 和 C 就互称为兄弟节点。

根节点 / 叶节点 / 内部节点

没有父节点的就是根节点，在一棵非空树中，有且只有一个根节点。

上图中的根节点就是 A。

没有子节点的就是叶节点，G、H、I、E、J 都是叶节点。

除去根节点和叶节点之外的其它节点就是内部节点，比如 B、C、D、F。

祖宗节点

祖宗结点是从根节点到该节点之前所经过的所有节点。

上图中节点 H 的祖宗节点就是 D、B、A。

子孙节点

某个节点下直至叶子节点的所有节点，都是此节点的子孙节点。

上图中节点 B 的子孙节点是 D、E、G、H、I。

子树类型

以某个节点为根节点的树称为该节点的子树。

下图中“以 B 为根节点的树”为“根节点 A”的子树。

当然 D、G、H、I 组成的树是 B 为节点的子树，F、J 组成的树是 C 为节点的子树。

需要注意的是，各个子树一定是互不相交的，像下面这些就不是子树，同样也不是树。

你看上面这 E 和 F 相交了，这就不是树。

树的其它重要概念

除了上面说的，树里面还有 3 个重要的概念，这 3 个概念有点相似，容易记混：层次、高度、深度。

下面我用一张图来解释这个概念。

层次

节点的层次是从根节点开始算起。

根节点是第一层，根节点的子节点层是第二层，依次往下类推。

深度

深度的话也是从根节点开始算起，依次往下是深度 1、2、...

最大深度为最大层数数。

你可以理解成看一口井，从上往下看。

高度

高度和深度正好相反，高度是从下往上。

叶子节点的高度是 1，叶子节点的父节点层高度是 2，依次往上类推。

你可以理解成看高楼，从下往上看。

二叉树

二叉树，表面上看上去是有“两个叉的树”，这样应该不准确，这上面还得加个限制条件：最多。

每个节点最多只有两个叉的树叫二叉树

既然是最多，那对于每个节点来说，可以一个叉，也可以没有叉，所以像下图这些都是二叉树。

上面 5 种包括了二叉树的所有基本形态。

二叉树的种类

除了上面讲的基本形态，还有三种特殊的二叉树：满二叉树、完全二叉树、二叉搜索树。

这也是后面我们要经常打交道的二叉树。

满二叉树

满二叉树就是叶子节点全在最底层，除了叶子节点以外的每个节点都有两个叉。

如果深度为 k，那满二叉树的总节点数就是 2^k - 1。

在同等深度的二叉树中，满二叉树是节点个数最多的。

完全二叉树

完全二叉树比较难理解，它的概念其实分前后两部分：

• 除了最底层以外，其余的每一层节点数都是满的

这个其实比较好理解，就是去掉最后一层，剩下的是一棵满二叉树。

• 最底层的节点全集中在该层最左边的位置。

难理解的也是这句话，最后一层如果是第 k 层，那么这一层最少有 1 个叶子节点，最多有 2^(k-1) 个节点，而这些节点都是从左到右依次排列。

上面右图不是完全二叉树，因为最后一层没有按照从左到右排列。节点 J 本应该在虚框的位置，但是跳过了。

明白了这两点，完全二叉树就不会搞到你。

二叉搜索树

二叉搜索树，又叫二叉排序树或二叉查找树。

见名知意，从它的别名可以看出，二叉搜索树是有数值的树（不然怎么排序呢），且有序（不然干嘛排序呢）。

既然有数且有序，肯定有合乎这俩的性质。

二叉搜索树有以下的性质：

• 若左子树不空，那左子树所有节点的值均 < 根节点的值。
• 若右子树不空，那右子树所有节点的值均 > 根节点的值。
• 左右子树也均为二叉搜索树。

二叉树的存储方式

二叉树具有两种存储方式：顺序存储和链式存储。

顺序存储

二叉树顺序存储其实就是用数组存，就做稍微了解即可，一般不用。

其中虚线为不存在的节点，设置为 ^ 表示。

链式存储

二叉树最多有两个叉，左孩子和右孩子，那对于每个节点来说，链式存储需要一个数据域 + 两个指针域。

数据域存储节点的数值，两个指针域一个指向左孩子，一个指向右孩子。

节点定义方式 Python 代码如下所示：

class BTNode:
    def __init__(self,data):
        self.data = data
        self.lchild = None
        self.rchild = None

二叉树的遍历

二叉树的遍历就是从根节点开始，按照某种顺序依次访问二叉树中的节点。

主要有四种遍历方式：

• 前序遍历
• 中序遍历
• 后续遍历
• 层次遍历

在这里，我只先讲基础的概念，因为对于遍历来说，存在不同的遍历方法，内容比较多。

二叉树的遍历是面试中非常非常高频的面试题，关于具体的实现我会单独拿一篇文章来讲。

前中后序遍历

一棵二叉树来说，可以将其粗略的分为 3 部分：根节点、左子树和右子树。

而前中后序遍历是对这三部分的不同遍历顺序：

• 前序遍历：根左右
• 中序遍历：左根右
• 后序遍历：左右根

当然对于左子树或者右子树来说，也是如上的遍历方式。

在这我以 preOrder 表示前序遍历，以 inOrder 表示中序遍历，以 postOrder 表示后续遍历，则三者的递推公式为：

• 前序：root -> preOrder(root.left) -> preOrder(root.right)。
• 中序：inOrder(root.left) -> root -> inOrder(root.right)。
• 后续：postOrder(root.left) -> postOrder(root->right) -> root。

我们来看一个例子。

对于上图的二叉树：

前序遍历，每一部分按照“根左右”，遍历顺序为 ABDHIEJCFG。

中序遍历，每一部分按照“左根右”，遍历顺序为 HDIBEJAFCG。

后续遍历，每一部分按照“左右根”，遍历顺序为 HIDJEBFGCA。

相信你也做对了。

层次遍历

层次遍历就是表面意思，一层层的遍历，同一层的遍历按照从左到右逐个遍历。

还是这个图：

层次遍历的顺序为：ABCDEFGHIJ。

好了，到这二叉树的入门基础就讲完了。

基本上关于树中涉及的概念和二叉树中种类、存储方式以及遍历方式做了简单明了且通俗易懂的讲解。

基本上重要的内容都在这了，只要能认认真真看到这的，肯定已经对二叉树有了一个大概的认识。

看完就会，在数据结构与算法的学习不是说说而已。

呃，如果觉得还不错的话，记得帮我<stron>，让我看到你呀！</stron>

我是帅蛋，我们下次见啦！

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