【数独 1】不回溯，试试候选数法1ms高效解数独谜题
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前言
不知道大家有没有玩过数独游戏，博主读高中的时候，数独曾经风靡一时，而数独作为一种数字逻辑游戏，其难度也不小，能不能用我们的计算机来解决数独问题呢？
用计算机解数独谜题最常用的方法是回溯法，如果大家想要更详细地了解回溯法，我觉得这篇文章比较思路清晰而容易理解： 链接: 回溯法解数独-知乎。接下来博主给大家介绍一种候选数法，供大家参考和交流。
🍍一、什么是数独游戏
数独谜题可表示为一个9 * 9的大九宫格，它由9个小的九宫格（3 * 3格）组成。
每个谜题，81个单元格中的一部分格子会被赋予1 ~ 9中的一个数字，作为已知数字，剩余的单元格空着。数独谜题的解题就是要在空的格子中填入1 ~ 9中的数字，要求大九宫格的每一行、每一列、每一个小九宫格都包含九个不同的数字。
我们平常的数独游戏还有两个重要的特性。第一，每个数独游戏的解唯一。第二，可以通过推理来求解，即不需要列出所有可能的情况来一一行尝试。数独谜题解题的过程，就是通过已知的数字，不断推理来确定空白单元格中该填的数字的过程。
下面是一个推理过程的例子，以下图为例，数字4必须在第二行的某个单元格恰好出现一次，那么它应该在哪里呢？我们观察到，4不可能在这一行的前三个单元或后两个单元，因为4已经出现在这些单元所在小九宫格的其它单元中了；4也不能在这一行的第五个单元，因为它已经出现在这一列的其它单元中了。所以，我们可以得出结论，第二行的第6个单元中，一定是填4。
🍍二、候选数法
每个单元格中都有1 ~ 9九个可能会填的数字，我们这些数字为该单元格的候选数。于是我们可以通过已有的数字，来删除其它单元格中的一些候选数，当某个单元格中的候选数只剩下一个时，这个单元格中的数字也就确定了。
🍍三、设计程序
1、数独盘面和候选数在计算机中的表示
我们可以简单地用一个二维数组来表示一个数独的盘面，用一个三维数组来表示所有的候选数。
/*全局变量*/
//这里下标为0的位置不使用
int s[10][10]{}; //(行，列)数独的大九宫格盘面
bool p[10][10][10]{}; //(行，列，候选数字) 如： p[1][2][3] == 1 就表示第一行第二列的数字 3 候选状态，而 p[4][5][6] == 0 则表示第四行第五列填数字 6 的可能性已经被排除了。
2、算法过程
还记得数独要满足的三条规则吗？接下来就需要它们来帮助我们解数独谜题啦！
我们解一个数独谜题的过程如下：
第一步：通过给定的已知数字来删除一些候选数。对于一个已知的数字，我们删除包括处于同一行、列、小九宫的相同数字候选数，和这一单元格中的所有其它候选数。
第二步：寻找只剩下一个候选数的单元格，确定该单元格中应填入的数字。
第三步：通过第二步确定的数字，继续删除候选数。
然后重复第二步和第三步，直到得到最终的答案。若在某次循环中，填入数字和候选数都不再发生变化，则停止循环，解该数独谜题就失败咯。
🍍四、实现（C++）
了解了候选数法解数独的原理，那么接下来就和博主一起来实现它吧！
1、运行
博主将填出的数字标上了醒目的蓝色。
2、源代码
/*包含文件*/
#include<windows.h>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
/*全局变量*/
int s[10][10]{}; //(行，列)数独的大九宫格
bool p[10][10][10]{}; //(行，列，候选数字)
/*函数声明*/
void init_p(); //初始化p，置1
void init_s(); //将s置0
void out_p(); //输出p
void in_s(); //输入数独谜题，从键盘
void out_s(); //输出s
bool exam_s(int s[][10]); //数独有效，则返回true
void change_p(); //更新p，通过扫描s
void change_s(); //更新s，通过扫描p
void init_a(int a[], int n); //将一个一维数组置0
bool exam_a(int a[], int n); //验证数组a，确定是否有数字多次出现(a记录的是数字出现的次数)
int where_small(int i); //得到小九宫格起始坐标
int num_have(); //统计s已经填出的数
void color(int k); //改变颜色输出
bool enough_s(); //s填满则返回true
/*主函数*/
int main() {
while(true) { //每次循环输入一个新的谜题进行求解
init_s();
init_p();
in_s();
clock_t start(0), finish(0);
start = clock();
int i = 0;
for(i = 0; i < 81; ++i) { //解数独
change_p();
change_s();
if(enough_s()) break; //已经得到解时，停止循环
}
finish = clock();
cout << "循环次数为：" << (i + 1) << endl;
cout << "The time is " << (finish - start) << " ms " << endl;
out_s();
system("pause");
system("cls");
}
return 0;
}
// --------------------------------------------------
/*将s矩阵重新置零*/
void init_s() {
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
s[i][j] = 0;
}
}
}
// --------------------------------------------------
/*
输出s矩阵*/
void out_s() {
const int c(11);
cout << "*" << num_have() << "* "; /*已经填好的数的数量*/
cout << "大九宫格：" << endl;
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
if(s[i][j] != 0) color(c);
cout << s[i][j] << " ";
color(15); //白色
}
cout << endl;
}
}
// --------------------------------------------------
/*
前置：在大九宫格的行，或列i
功能：由一个数字在大九宫格的位置，得到该数字所在的小九宫格的起始位置
后置：i不变
返回：数字所在小九宫格的起始位置的行，或列*/
int where_small(int i) {
if(i <= 3) return 1;
if(i <= 6) return 4;
if(i <= 9) return 7;
}
// --------------------------------------------------
/*
前置：一维数组a
功能：测试数组a
后置：数组不变
返回：a数组发现无效则返回false；否则返回true*/
bool exam_a(int a[], int n) {
for(int i = 1; i < n; ++i) {
if(a[i] > 1) {
return false;
}
}
return true;
}
// --------------------------------------------------
/*
前置：一维数组
后置：一维数组所有元素值为0*/
void init_a(int a[], int n) {
for(int i = 0; i < n; ++i) {
a[i] = 0;
}
}
// --------------------------------------------------
/*
前置：p数组，s数组
功能：扫描p，在s写入已经可以确定的数字
原理：大九宫格的每一行，列，小九宫格都恰好包含1~9
后置：p不变，s部分由0变为填入的数字*/
void change_s() {
for(int i = 1; i <= 9; ++i) { //i迭代p中9个数值矩阵
for(int j = 1; j <= 9; ++j) { //行列扫描一起
int count_h(0), count_l(0); //行，列扫描中1的个数
int m_h(0), n_h(0); //(m,n)为1所在坐标
int m_l(0), n_l(0);
for(int k = 1; k <= 9; ++k) {
if(p[j][k][i] == 1) { //一行
count_h++;
m_h = j; n_h = k;
}
if(p[k][j][i] == 1) { //一列
count_l++;
m_l = k; n_l = j;
}
}
/*更新s*/
if(count_h == 1)
s[m_h][n_h] = i;
if(count_l == 1)
s[m_l][n_l] = i;
}
for(int j = 1; j <= 9; j += 3) { //(j,k)定位9个小九宫的起始格(左上角)
for(int k = 1; k <= 9; k += 3) {
int count(0);
int m(0), n(0);
for(int u = j; u <= j + 2; ++u) { //(u,v)迭代扫描一个小九宫
for(int v = k; v <= k + 2; ++v) {
if(p[u][v][i] == 1) {
count++;
m = u; n = v;
}
}
}
/*更新s*/
if(count == 1) {
s[m][n] = i;
}
}
}
}
}
// --------------------------------------------------
/*
前置：p数组，s数组
功能：通过s数组的每个已知数字，调整p数组的值
后置：p部分由1变为0，s不变*/
void change_p() {
/*p中代表数值s[i][j]的矩阵*/
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
/*更新p的数值矩阵的行，列*/
for(int k = 1; k <= 9; ++k) {
if(k != j)
p[i][k][s[i][j]] = 0;
if(k != i)
p[k][j][s[i][j]] = 0;
}
/*更新p的对应数字的小九宫格*/
int m = where_small(i); /*行*/
int n = where_small(j); /*列*/
for(int k = m; k <= m + 2; ++k) {
for(int l = n; l <= n + 2; ++l) {
if(k == i && l == j);
else p[k][l][s[i][j]] = 0;
}
}
/*更新p的所有数字矩阵的对应位置*/
for(int k = 1; k <= 9; ++k) {
if(s[i][j] != 0 && s[i][j] != k)
p[i][j][k] = 0;
}
}
}
}
// --------------------------------------------------
/*
测试一个数独是否有效*/
bool exam_s(int s[][10]) {
int a[10]{};
/*每行没有重复数字*/
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
init_a(a, 9);
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
a[s[i][j]] = 1;
}
if(exam_a(a, 9) == false)
return false;
}
/*每列没有重复数字*/
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
init_a(a, 9);
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
a[s[j][i]] = 1; /*i,j改成了j,i*/
}
if(exam_a(a, 9) == false)
return false;
}
/*
每个小九宫格没有重复数字
定位小九宫格开始的位置*/
for(int i = 1; i <= 9; i += 3) {
for(int j = 1; j <= 9; j +=3) {
init_a(a, 9);
/*处理一个小九宫格*/
for(int k = i; k <= i + 2; ++k) {
for(int l = j; l <= j + 2; ++l) {
a[s[k][l]] = 1;
}
}
if(exam_a(a, 9) == false)
return false;
}
}
return true; /*没发现问题，就说明没有问题咯*/
}
// --------------------------------------------------
/*
输出九个矩阵，每个矩阵代表一个值在九行九列的可能情况*/
void out_p() {
for(int i(1); i <= 9; i += 3) {
cout << "矩阵" << i << "：";
cout << " " << " "; /*10 + 8格*/
cout << "矩阵" << i + 1 << "：";
cout << " " << " ";
cout << "矩阵" << i + 2 << "：" << endl;
for(int j(1); j <= 9; ++j) {
for(int k(1); k <= 9; ++k) {
cout << p[j][k][i] << " ";
}
cout << " "; /*7格*/
for(int k(1); k <= 9; ++k) {
cout << p[j][k][i + 1] << " ";
}
cout << " ";
for(int k(1); k <= 9; ++k) {
cout << p[j][k][i + 2] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}
}
// --------------------------------------------------
/*
从键盘输入数独已知方阵信息*/
void in_s() {
cout << "请输入数独题(9*9的矩阵，未知数字用0)：" << endl;
for(int i(1); i <= 9; ++i) {
for(int j(1); j <= 9; ++j) {
cin >> s[i][j];
}
}
cout << "*" << num_have() << "*" << endl;
cout << "输入大九宫格完成！" << endl;
}
// --------------------------------------------------
/*
前置：p中所有单元的值为0
后置：p中行、列、数字值从1到9的共729个单元的值为1，其余单元为0*/
void init_p() {
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
for(int k = 1; k <= 9; ++k) {
p[i][j][k] = 1;
}
}
}
}
// --------------------------------------------------
/*(done)
统计s已经填出的数*/
int num_have() {
int count(0);
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
if(s[i][j] > 0)
count++;
}
}
return count;
}
// --------------------------------------------------
void color(int k) { // 改变颜色输出
SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), k);
}
// --------------------------------------------------
bool enough_s() { //s填满返回true
if(num_have() < 81) return false;
return true;
} 🍍五、算法分析
候选数法解数独谜题的效率确实很高，当得起“高效”而字，基本上可以在==1ms==内就得到解。
但可能有的小伙伴已经发现了问题，“博主，你怎么证明你的算法一定能够得到一个数独谜题的解？”确实，在博主对程序的测试中发现，有一些数独谜题该算法是无法得到解的，这也让博主感到十分遗憾。
🍍六、总结
虽然该算法的能力有点弱哈，但博主感觉这也是对自己生活中问题的一次有趣的尝试呀。从一开始，用候选数法得到数独谜题的解就只是一个猜想。看到它确实能够解决一部分的数独问题，博主已经挺开心啦！
数独题库：尤怪之家数独挑战馆出题菜单
里面的数独题非常丰富哦！有兴趣的小伙伴可以看一看。
附录（测试数据）
直接复制到程序运行框可能行末会缺少换行，可以先复制到记事本。
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0 9 7 8 0 5 6 0 0
0 7 0 1 0 0 9 0 6
0 0 5 9 0 3 7 0 0
9 0 1 0 0 8 0 3 0
0 0 2 3 0 4 5 6 0
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0 5 0 0 0 2 0 9 0
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0 7 0 2 0 0 0 0 8
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3 0 0 0 0 8 0 5 0
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0 2 0 8 0 0 0 4 0
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8 5 0 0 0 0 2 0 0
0 6 0 0 0 0 0 1 0
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0 0 5 0 8 0 9 0 0
0 0 0 7 0 1 0 0 0
5 8 6 0 0 0 3 0 0
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下一篇中做了一些改进：【数独 2】候选数法解数独谜题-挖掘更深的信息-C++实现
