C++精通之路：红黑树(超详细)

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红黑树

一：红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。通过
对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩
倍，因而是接***衡的。

二：红黑树的性质

每个结点不是红色就是黑色
根节点是黑色的
如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

通过以上的规则，就能保证：
其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍
从而达到相对平衡

三：红黑树节点的定义

// 节点的颜色
enum Color{RED, BLACK};
// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED)
: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
, _data(data), _color(color)
{}
RBTreeNode<ValueType>* _pLeft; // 节点的左孩子
RBTreeNode<ValueType>* _pRight; // 节点的右孩子
RBTreeNode<ValueType>* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给出该字
ValueType _data; // 节点的值域
Color _color; // 节点的颜色
};

注意：

需要将节点的默认颜色给成红色的，因为红色不影响红黑树的整体结构。
在后续插入的情况，也是一样

四：红黑树结构

在stl源码中的结构：

五：红黑树的插入操作

先用简单的比较，找到插入节点需要插入的位置
因为默认是为红色，所以要向上判断是否违反规则，情况如下：

父亲是黑色，则不用做任何操作即可满足红黑树的结构
父亲是红色，出现了连续的红节点，不满足红黑树的结构，需要处理，具体处理情况如下：

具体处理情况：

因为父亲是红色，所以父亲不可能是根，因为不能出现连续的红节点，所以祖父是黑节点，
祖父和父亲都确定了，只有祖父的另外一个孩子（叔叔）的颜色没有确定
所以我们以叔叔的颜色为特殊情况再以次分析如何处理

注：cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点
情况一（只需要变色）：
cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

因为有连续的红节点，必须要做变色处理了，如何保证在不破坏红黑树的整体结构下来做变色处理呢？
我们选择把 g变红，p和u变黑来处理。
这样就保证了在p和u这两条路径下的黑色节点没有发生改变并且没有了连续的红节点
但是g的改变也会导致g上层结构的变化，所以我们还要做出改变：
1. 假如g为根节点的时候，将其变黑
2. 假如g不为根节点的时候，则继续以g为新增节点向上调整
情况二（单旋加变色）：
cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑

假如u不存在，则cur一定是新增节点，因为假如cur原来是黑色的话，就违反了规则：对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
假如u存在，所以u为黑色（为红色的情况以讨论）：假设cur是新增节点，则在cur未插入前，p左子树的这条路径的长度已经逼u上的路径上的黑色节点少了，违反了规则：对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点，所以假设不成立，cur一定是从黑色变为红色的

解决方法：

如果p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转，p变黑，g变红
如果p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转，p变黑，g变红

原因/理由：
如果p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则失去了平衡，通过变色已经无法满足要求了，所以我们就要借助旋转来帮助我们。所以如果p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转，p变黑，g变红。即平衡了整个树，又保证了路径中的黑色节点不变。

情况三（双旋加变色）：

也是cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑，但cur的位置发生了变化，如图所示：

解决办法：

如果p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转，p旋转后再对g进行右单旋，旋转后将cur变黑，g变红

如果p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转，p旋转后再对g进行左单旋，旋转后将cur变黑，g变红

具体步骤图：
插入的实现

pair<Node*, bool> Insert(const pair<K, V>& kv)
{
    //空树的情况
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(kv);
        _root->_col = BLACK;
        return make_pair(_root, true);
    }

    //查找位置插入节点
    Node* cur = _root, * parent = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_kv.first > kv.first)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else if (cur->_kv.first < kv.first)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else
        {
            return make_pair(cur, false);
        }
    }

    //创建链接节点
    cur = new Node(kv);
    Node* newnode = cur;
    if (parent->_kv.first > kv.first)
    {
        parent->_left = cur;
    }
    else
    {
        parent->_right = cur;
    }
    cur->_parent = parent;

    //父节点存在且为红，则需要调整（不能存在连续的红色节点）
    while (parent && parent->_col == RED)
    {
        //此时当前节点一定有祖父节点
        Node* granparent = parent->_parent;
        //具体调整情况主要看叔叔节点
        //分左右讨论
        if (parent == granparent->_left)
        {
            Node* uncle = granparent->_right;
            //情况1：叔叔节点存在且为红
            if (uncle && uncle->_col == RED)
            {
                //修改颜色，继续向上检查
                granparent->_col = RED;
                parent->_col = uncle->_col = BLACK;

                cur = granparent;
                parent = cur->_parent;
            }
            else//情况2和3：叔叔节点不存在 或者存在且为黑
            {
                //单旋(三代节点为斜线)+变色
                if (cur == parent->_left)
                {
                    RotateR(granparent);

                    granparent->_col = RED;
                    parent->_col = BLACK;
                }
                else//双旋(三代节点为折线)+变色
                {
                    RotateL(parent);
                    RotateR(granparent);

                    cur->_col = BLACK;
                    granparent->_col = RED;
                }
                //旋转后不需再向上调整了
                break;
            }
        }
        else//parent=grandparent->right
        {
            Node* uncle = granparent->_left;
            if (uncle && uncle->_col == RED)
            {
                parent->_col = uncle->_col = BLACK;
                granparent->_col = RED;

                cur = granparent;
                parent = cur->_parent;
            }
            else
            {
                if (cur == parent->_right)
                {
                    RotateL(granparent);

                    parent->_col = BLACK;
                    granparent->_col = RED;
                }
                else
                {
                    RotateR(parent);
                    RotateL(granparent);

                    cur->_col = BLACK;
                    granparent->_col = RED;
                }
                break;
            }
        }
    }

    //确保根节点为黑
    _root->_col = BLACK;
    return make_pair(newnode, true);
}

旋转实现

void RotateL(Node* parent)
{
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = subR->_left;
    Node* parentP = parent->_parent;


    parent->_right = subRL;
    if (subRL)
    {
        subRL->_parent = parent;
    }

    subR->_left = parent;
    parent->_parent = subR;

    if (parent == _root)
    {
        _root = subR;
        subR->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
        subR->_parent = parentP;
        if (parentP->_left == parent)
        {
            parentP->_left = subR;
        }
        else
        {
            parentP->_right = subR;
        }
    }
}

void RotateR(Node* parent)
{
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = subL->_right;
    Node* parentP = parent->_parent;


    parent->_left = subLR;
    if (subLR)
    {
        subLR->_parent = parent;
    }

    subL->_right = parent;
    parent->_parent = subL;

    if (parent == _root)
    {
        _root = subL;
        subL->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
        subL->_parent = parentP;
        if (parentP->_left == parent)
        {
            parentP->_left = subL;
        }
        else
        {
            parentP->_right = subL;
        }
    }
}

六:红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)

检测其是否满足红黑树的性质

实现代码：

bool IsRBTree()
{
    //空树
    if (_root == nullptr)
    {
        return true;
    }
    //根节点为黑色
    if (_root->_col == RED)
    {
        cout << "根节点为红色" << endl;
        return false;
    }
    //黑色结点数量各路径上相同
    //先走一条得到基准值
    int Blacknum = 0;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_col == BLACK)
            Blacknum++;
        cur = cur->_left;
    }
    //检查子树
    int i = 0;
    return _IsRBTree(_root, Blacknum, i);
}

bool _IsRBTree(Node* root, int blacknum, int count)
{
    //递归到空节点
    if (root == nullptr)
    {
        if (blacknum == count)
            return true;
        cout << "各路径上黑色节点个数不同" << endl;
        return false;
    }
    //子节点为红则检查父节点是否为红（通过父节点检查子节点会遇到空节点）
    if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
    {
        cout << "存在连续红色节点" << endl;
        return false;
    }
    //计数黑结点
    if (root->_col == BLACK)
        count++;
    //递归左右子树
    return _IsRBTree(root->_left, blacknum, count) && _IsRBTree(root->_right, blacknum, count);
}

七、红黑树的删除

红黑树的删除不做讲解，有兴趣可参考：《算法导论》或者《STL源码剖析》
http://www.cnblogs.com/fornever/archive/2011/12/02/2270692.html
http://blog.csdn.net/chenhuajie123/article/details/11951777