动态规划

最长上升子序列

登山

五一到了，ACM队组织大家去登山观光，队员们发现山上一共有N个景点，并且决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。

同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。

队员们希望在满足上面条件的同时，尽可能多的浏览景点，你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么？

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
1. 按照编号递增的顺序浏览
2. 相邻两个经典不能相同
3. 一旦开始下降就不能上升了 先上升再下降

目标：求最多能浏览多少景点

8
186 186 150 200 160 130 197 220
4
*/


int n;
int nums[1001], dp1[1001], dp2[1001];

int main() {
	cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> nums[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    	dp[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; ++j) {
        	if (nums[i] > nums[j]) {
            	dp1[i] = max(dp1[i], dp1[j] + 1);
            }
        }
    }
    
    for (int i = n; i >= 1; --i) {
    	dp[i] = 1;
        for (int j = n; j > i; --j) {
        	if (nums[i] > nums[j]) {
            	dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j] + 1);
            }
        }
    }
    
    int res = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) res = max(res, dp1[i] + dp2[i] - 1);
    
    cout << res;
    
    return 0;
}

怪盗基德的滑翔翼

怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。

而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。

有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。

不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。

假设城市中一共有NN幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。

初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。

他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。

因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。

他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。

请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int T;
int n;
int a[110], f[110];

int main() {
	cin >> T;
    while (T --) {
    	for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
        int res = 1;
        vector<int> dp(n + 1, 1);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        	for (int j = 1; j < i; ++j) {
            	if (a[i] > a[j]) {
                	dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
                res = max(res, dp[i]);
            }
        }
        
        vector<int> dp(n + 1, 1);
        for (int i = n; i >= 1; --i) {
        	for (int j = n; j > i; --j) {
            	if (a[i] > a[j]) {
                	dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
                res = max(res, dp[i]);
            }
        }
        cout << res << endl;
    }
    
    return 0;
}

合唱队形

N 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 (N−K) 位同学出列，使得剩下的 K 位同学排成合唱队形。

合唱队形是指这样的一种队形：设 K 位同学从左到右依次编号为 1，2…，K，他们的身高分别为 T1，T2，…，TK，则他们的身高满足 T1<…Ti+1>…>TK(1≤i≤K)。

你的任务是，已知所有 N 位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入格式输入的第一行是一个整数 N，表示同学的总数。

第二行有 N 个整数，用空格分隔，第 i 个整数 Ti 是第 i 位同学的身高(厘米)。

输出格式输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
和登山问题是对偶问题
最少减去多少个人能形成先上升后下降的序列
8
186 186 150 200 160 130 197 220
4
*/


int n;
int nums[1001], dp1[1001], dp2[1001];

int main() {
	cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> nums[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    	dp1[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; ++j) {
        	if (nums[i] > nums[j]) {
            	dp1[i] = max(dp1[i], dp1[j] + 1);
            }
        }
    }
    
    for (int i = n; i >= 1; --i) {
    	dp2[i] = 1;
        for (int j = n; j > i; --j) {
        	if (nums[i] > nums[j]) {
            	dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j] + 1);
            }
        }
    }
    
    int res = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) res = max(res, dp1[i] + dp2[i] - 1);
    
    cout << n - res;
    
    return 0;
}

友好城市

有一条横贯东西的大河，河有笔直的南北两岸，岸上各有位置各不相同的N个城市。北岸的每个城市有且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市，但是由于河上雾太大，政府决定避免任意两条航道交叉，以避免事故。编程帮助政府做出一些批准和拒绝申请的决定，使得在保证任意两条航道不相交的情况下，被批准的申请尽量多。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;

int n;
int main() {
    scanf("%d", &n);
    vector<PII> nums(n);
    vector<int> dp(n, 1);
    for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d %d", &nums[i].first, &nums[i].second);
    
    int res = 1;
    sort(nums.begin(), nums.end());
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            if (nums[i].second > nums[j].second) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            res = max(res, dp[i]);
        } 
    }
    printf("%d", res);
}

896. 最长上升子序列 II

最大上升子序列和

一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ...,aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中序列和最大为18，为子序列(1, 3, 5, 9)的和. 你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。注意，最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列(100, 1, 2, 3)的最大上升子序列和为100，而最长上升子序列为(1, 2, 3)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int nums[1001], dp[1002];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &nums[i]);
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        dp[i] = nums[i];
        for (int j = 1; j < i; ++j) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + nums[i]);
            }
        }
        res = max(res, dp[i]);
    }
    printf("%d", res);
    return 0;
}