时间序列分析中预测类问题下的建模方案

【说在前面】本人博客新手一枚，象牙塔的老白，职业场的小白。以下内容仅为个人见解，欢迎批评指正，不喜勿喷！[认真看图][认真看图]

【补充说明】时间序列分析主要有两个方向，一个通过是对历史数据的分析进行异常检测和分类，二是进行预测！

【补充说明】回归分析假设每个数据点都是独立的，而时间序列分析则是利用数据之间的相关性进行预测！

【多说一句】本文主要对时间序列分析中预测类问题下的建模方案进行探讨，其他内容之后再分享！

一、基于统计学模型

1. 基本概念

一个时间序列可能存在的特征包括以下几种：

趋势：时间序列在长时间内呈现出来的长期上升或下降的变动
季节性：时间序列在一年内出现的周期性波动，例如销售淡季和销售旺季等
序列相关性：又称为自相关性。即时间序列中数据点之间存在正相关或者负相关
随机噪声：时间序列中除去趋势、季节变化和自相关性之后的剩余随机扰动。

时间序列中预测类问题的目标是利用统计建模来识别时间序列中潜在的趋势、季节变化和序列相关性。

而衡量一个模型是否适合原始时间序列的标准正是考察原始值和拟合值之间的残差序列是否近似的为白噪声。

因此，首先要进行时间序列的自相关性分析，确定训练数据是符合时间序列要求：

用时滞图观察：时滞图是把时间序列的值及相同序列在时间轴上后延的值放在一起展示。
Ljung-Box检验：是一种对平稳性检验的方法，判断一个序列是白噪声还是序列存在相关性。

时间序列建模的过程可以总结如下：

2. 平稳性检验

如果想要对时间序列进行统计学模型分析，需要保证时间序列具有平稳性。

在数学上，时间序列的严平稳有着更精确的定义：它要求时间序列中任意给定长度的两段子序列都满足相同的联合分布。这是一个很强的条件，在实际中几乎不可能被满足。因此还有弱平稳的定义，它要求时间序列满足均值平稳性和二阶平稳性（方差平稳性）。

检验平稳性的方法有很多种：

（1）图示法

根据时序图粗略判断是否平稳：平稳时序图的特征为围绕均值波动，而非平稳时序图表现为在不同时间段具有不同的均值。

即可以从两个特征进行判断：趋势（即均值随时间变化）、季节性（即方差随时间变化、自协方差随时间变化）。

如图所示，图a为平稳时序图，图b为非平稳时序图。

（2）单位根检测法

例如DF检验、ADF检验、KPSS、P-P等，具体不展开介绍。

3. 平稳化处理

变换：例如取对数、取平方等
平滑处理：例如移动平均等
差分
分解
多项式拟合：例如拟合回归等

4. 统计学模型：自回归模型 AR

数学上，满足如下关系的时间序列被称为一个阶的自回归模型，记为模型：

阶的意思是使用当前时刻之前的个观测值作为自变量对建模。模型的含义是，可以表达为时刻之前的个收益率观测值的线性组合以及一个时刻的随机误差。的取值可以是任何一个正整数，因此最简单的自回归模型就是模型（）。

需要说明的是，自回归模型不一定都满足平稳性。

5. 统计学模型：滑动平均模型 MA

数学上，满足如下关系的时间序列被称为一个阶的滑动平均模型，记为模型：

与自回归模型不同，滑动平均模型一定满足平稳性。

6. 统计学模型：自回归滑动平均模型 ARMA

ARMA模型是针对平稳时间序列建立的模型。将一个阶的自回归模型和一个阶的滑动平均模型组合在一起，将 AR 和 MA 模型的优势互补起来。由于 AR 和 MA 模型都是线性模型，因此它俩的线性组合，即 ARMA 模型，也是线性模型。

数学上，满足如下关系的时间序列被称为一个阶数为的自回归滑动平均模型，记为模型：

相比较单一的 AR 或者 MA 模型，ARMA 模型拥有更多的参数，出现过拟合的危险就更高。因此，在确定 AR、MA 以及 ARMA 模型的阶数时，常使用信息量准则，包括赤池信息量准则（简称 AIC）以及贝叶斯信息量准则（简称 BIC）。这两个信息量准则的目的都是寻找可以最好地解释数据但包含最少自由参数的模型，均使用模型的似然函数、参数个数以及观测点个数来构建一个标量函数，以此作为评价模型好坏的标准，区别在于标量函数的表达式有所不同。

7. 统计学模型：差分整合移动平均自回归模型 ARIMA

ARIMA （p，d，q）模型是针对非平稳时间序列建模，在ARMA模型的基础上多了差分项（即前文提到的平稳化处理）。其中AR是“自回归”，p为自回归项数，MA为“滑动平均”，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分次数。其中，对于p，d，q的选择是通过ACF（自相关函数，描述了时间序列数据与其之后版本的相关性）与PACF（偏自相关函数，描述了各个序列的相关性）来确定的。