概率题

更新情况

• 20200406: 55-57
• 20200405: 47-54
• 20200404：9，45-46

基础公式

组合数

推导：

理解为组合数=不含某个元素的组合+含某个元素的组合

组合数求和公式

组合数相关

• 杨辉三角：对称，每个数等于它上方两数之和

参考

• 排列组合的一些公式推导

1

从一副52张扑克牌中随机抽两张，颜色相等的概率

解析：有红黑两种颜色，各26张

2

54张牌，分成6份，每份9张牌，大小王在一起的概率

3

52张牌去掉大小王，分成26*2两堆，从其中一堆取4张牌为4个a的概率

4

一个硬币抛了10次，8次为正，2次为反，求第11次抛硬币为正的概率。
假设硬币为正面的概率为p,

极大似然估计求解

对数求导得到

贝叶斯估计求解

定义下一次抛硬币为事件Y,D为之前10次事件的集合，假设一次硬币为正面的概率u服从均匀分布uniform(0,1),

代入可以算出最终的结果是

最大后验估计求解

在先验概率分布为均匀分布的情况下，最大后验估计退化为极大似然估计。

参考

• https://blog.csdn.net/algorithmPro/article/details/83869188
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/61593112

5

有8个箱子，现在有一封信，这封信放在这8个箱子中（任意一个）的概率为4/5,不放的概率为1/5（比如忘记了）,现在我打开1号箱子发现是空的，求下面7个箱子中含有这封信的概率为？

问题转化：

6

已知N枚真硬币，M枚假硬币（两面都是国徽），R次重复采样都是国徽，问R次采样都是真硬币的概率？

问题转化：

根据采样的独立性，

根据贝叶斯公式得到

7

一对夫妻有2个孩子，求一个孩子是女孩的情况下，另一个孩子也是女孩的概率
问题转化：

贝叶斯公式可得，1/3

8

某城市发生了一起汽车撞人逃跑事件，该城市只有两种颜色的车，蓝20%绿80%，事发时现场有一个目击者，他指证是蓝车，但是根据专家在现场分析，当时那种条件能看正确的可能性是80%，那么，肇事的车是蓝车的概率是多少？

问题转化：

贝叶斯公式，得到1/2

9

100人坐飞机，第一个乘客在座位中随便选一个坐下，第100人正确坐到自己坐位的概率是？他们分别拿到了从1号到100号的座位，这些乘客会按号码顺序登机并应当对号入座，如果他们发现对应号座位被别人坐了，就会在剩下空的座位随便挑一个坐．现在假设1号乘客疯了（其他人没疯），他会在100个座位中随便选一个座位坐下，问：第100人正确坐到自己坐位的概率是多少？（也可推广到n名乘客n个座位的情况）

假设n个乘客的时候最后一个人坐到自己座位的概率是f(n)
先分析一下第一个乘客随便坐的情况：

• 坐到自己的座位 1/n
• 坐到最后一个人的座位 1/n
• 其他人，假设坐了第m个人的位置(1<m<n),那么前面m-1个人会正确坐到自己的位置，第m个人要乱坐，此时最后一个人坐到自己座位的概率为f(n-m+1)
  因此，

由数学归纳法可得

答案来源

10

一个国家重男轻女，只要生了女孩就继续生，直到生出男孩为止，问这个国家的男女比例？
问题转化：

所以是1比1

11

有50个红球，50个蓝球，如何放入两个盒子中使得拿到红球的概率最大

两个箱子概率是1/2，选中某个箱子后又有选择的是不是红球的概率，所以最大概率就是一个红球放在一个箱子里，其余的99个球全放到另一个箱子。这样概率=0.5+0.5*（49/99）约等于0.75，这样为最大概率。

答案来源

12

某个函数f返回值为0/1，0返回的概率为p，写一函数返回0/1概率相等。

public int g(){
        while (true){
            int a = f();
            int b = f();
            if(a!=b){
                return a;
            } 
        }
    }

答案来源

拒绝采样的题，采样率是2p(1-p)

13

给你一个函数，这个函数是能得出1-5之间的随机数的，概率相同。现在求1-7之间随机函数

def random7():
    x,y=random5()-1,random5()
    idx = x*5+y
    if idx>21:
        return random7()
    return (idx-1)%7+1

拒绝采样，采样率为21/25

14

X是一个以p的概率产生1,1-p的概率产生0的随机变量，利用X等概率生成1-n的数

思路：构造等概率生成0，1的函数，调用该函数ceil（log2（n））次，组成一个二进制的数，如果大于等于n，重新生。

def random01():
    x,y = random(),random()
    if x!=y:
        return x
    return random01()


def randomN(n):
    from math import log,ceil
    times = ceil(log(n,2))
    res = ''
    for _ in range(times):
        res+=str(random01())
    res = int(res,2)
    if res>=n:
        return randomN(n)
    return res+1

15

一个硬币，如何构建事件，使得事件发生的概率为2/3

拒绝采样，抛两次硬币，如果两次都是反面的话重新抛，一正一反的概率为2/3

答案来源

16

怎么计算圆周率π的值(蒙特卡洛采样)

在一个边长为2的正方形内均匀地随机投点，假设投n次，计算落到该正方形的内切圆里面的数量，假设为m，那么经过计算

17

一个抽奖池，里面有12种卡牌，如何实现一个1/78,...,12/18的抽奖概率。

randint可以生成0-77概率均匀的随机整数，0映射1，1/2映射2...

18

给一个概率分布均匀的随机数发生器，给一串float型的数，希望通过这个随机数发生器实现对这串数进行随机采样，要求是如果其中的某个数值越大，那么它被采样到的概率也越大。

先对他们的概率进行设计，先sigmoid再归一化。根据概率划分区间。

19

一本无数个字的书从前往后读，某个时间点突然暂停并返回之前读过的某个字，要求每个字返回的概率是一样的。

1 字都相同
2 字都不同

20

一个有n*n个方格的棋盘，在里面放m个地雷，如何放保证在每个方格上放雷的概率相等。

需要一个生成1-n的随机数生成器，然后每次调用两次生成x，y，作为地雷放置的位置，如果位置重复则舍弃，重复执行直到获得m个位置。

21

一根棍子折三段能组成三角形的概率

假设折成的三段为x，y，L-x-y,则需要满足

所求概率等于x+y=L/2、x=L/2、y=L/2三条直线所包围图形的面积除以直线(x+y)=L与x轴、y轴所包围图形的面积

答案来源

22

一个圆上三个点形成钝角的概率是多少？假如两个点和圆心形成的圆心角已经是直角，那么第三个和这两个点形成钝角的概率是多少？

• 在圆上任意取第一个点A；
• 再任意第二个点B,有AB重合、AB在同一条直径上两个特殊点,
  但对于圆上的无数个点来说,B取到上面两个特殊点的概率为0；
  所以可以使AB能够不重合且不在同一直径上的概率为1；以下叙述将不考虑上述两个特殊点；
  由上所述,A、B两点的取法可以看做是任意取,概率为1；
• 再任意取第三点C,C有与A重合、与B重合两个特殊点,同上,可以忽略不计
  设原点为O,则AO交圆于点D,BO交圆于点E,则C在弧DBAE时（D、B、A、E四点除外）,三角形ABC为钝角三角形；
  由弧AB的长度从趋近于零,到趋近于半圆,弧DBAE的长度由趋近于圆周长1,到趋近于半圆周1/2,
  所以弧DBAE的平均长度为

所以三角形ABC为钝角三角形的概率为3/4

答案来源

23

X，Y独立均服从（0,1）上的均匀分布，P{X^2+Y^2≤1}=?
答案：边长为1的正方形的内切圆的面积/1=

24

一个圆，在圆上随机取3个点，这3个点组成锐角三角形的概率

同题22

25

一个袋子里有100个黑球和100个白球，每次随机拿出两个球丢掉，如果丢掉的是不同颜色的球，则从其他地方补充一个黑球到袋子里，如果颜色相同，则补充一个白球到袋子里。问：最后一个球是黑球和白球的概率分别为多大？

思路1:
令(x,y)=(黑，白)取出的个数

• (-2,0)+(0,1)=(-2,1)
• (0,-2)+(0,1)=(0,-1)
• (-1,-1)+(1,0)=(0,-1)
  可以看出黑都是成对取出的，所以最后肯定剩下个白的。

思路2:
相当于取异或，黑为1，白为0，所有球异或的结果是0

答案来源

26

扔骰子，最多扔两次，第一次扔完可以自行决定要不要扔第二次，去最后一次扔色子的结果为准，求：尽可能得到最大点数的数学期望
1 2 3重新摇，4 5 6不摇。期望是4.25

27

甲乙轮流抛硬币，正面胜，先抛的人优势多大？

设甲先抛。设甲胜率为x。则第一次甲抛了反面后，乙胜率为x，从而甲胜率+乙胜率=x+0.5x=1，从而x=2/3。

答案来源

28

不断地抛一枚均匀硬币，当出现连续两个正面时停止。问期望的总次数是多少？

用E表示期望总次数，用E1表示一次抛到正面，接下来出现正正的期望次数，E0表示一次抛到反面，接下来出现正正的期望次数

因为，

因此结果为6

答案来源

另外，牛客网上用马尔可夫链来解的写的特别好。

29 赌徒破产问题

一个赌徒手中持有a美元，他和庄家进行抛均匀硬币的赌博，如果硬币为正面，赌徒获得1美元，否则赌徒失去1美元。当赌徒持有0美元时，以赌徒失败结束游戏；当赌徒持有a + b美元时，以庄家破产结束游戏。问赌徒的获胜概率。

我们用来表示赌徒手里持有i美元时他的胜率。

已知,

可见为等差序列，因此可以求得

答案来源

30

甲乙约定在某地,忘了约时间,只知道七点到八点见面,他们都打算于七点到七点四十五随机时刻到达某地,然后等十五分钟,如果两人没见面就走人,问他们见面的概率是多少?

几何方法算，X轴代表甲的出发时间，Y轴代表乙的出发时间，满足的范围为所求,答案为4/9。

31

a b c 分别循环投掷硬币，直到正面出现胜利，求a b c获胜的概率
假设a的胜率为p，则b的胜率为0.5p，c的胜率为0.25p，p=4/7

32

某大公司有这么一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工全部放假一天。但在其余时候，所有员工都没有假期，必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大？

极大似然估计求导得n=364.5

答案来源

33

有一个很大很大的输入流，大到没有存储器可以将其存储下来，而且只输入一次，如何从这个输入 流中随机取得m个记录

开一个m大的数组a[m]，前m个记录存入这个数组中。往后的记录采用这种取舍策略：假设为第p个，p是大于m的，在[0，p）间产生一个随机数r，如果r<m，那么a[r] = 第p个记录，反之抛弃这个记录。

证明：
对于前面m个，被选中的概率为

对于比m大的，假设为第p个

答案来源

34

某段公路上1小时有车通过的概率是0.96，半小时有车通过的概率是多少

1个小时内有车通过的概率是0.96，那么个一个小时内没有车通过的概率是0.04。
假设半小时有车通过的概率为x，那么

35

一个公交站在1分钟内有车经过概率是p，问3分钟内有车经过概率

36

8支球队循环赛，前四名晋级。求晋级可能性
1/2?? 是太简单还是我是笨蛋呢

37

三个范围在0-1的数，和也在0-1的概率。
三角锥的体积：

38

11个球，1个特殊球，两个人无放回拿球，问第一个人取到特殊球的概率

假设第一个人拿到球的概率为p，

39

1个球，1个特殊球，两个人无放回拿球，问第一个人取到特殊球的概率

相当于12个球排序，然后特殊球在1 3 5 7 9 11的概率，因此是1/2

40

11个球，1个特殊球，两个人有放回拿球，问第一个人先拿到这个特殊球的概率

假设第一个人先拿到的概率为p,

41

抛硬币，正面继续抛，反面不抛。问抛的次数的期望

假设抛的次数为x,

42

不停抛掷硬币直至连续3次出现正面，此时抛硬币的次数的期望是多少

假设期望是x，

x=14

43

均匀分布如何生成正态分布

Box-muller
令U1,U2服从[0,1]的均匀分布，

44

砝码问题：2个轻的砝码，5个重的砝码和一个天平，几轮可以找到轻的砝码？

分别放左右分别放两个，

• 一样重，两边各一个轻一个重---3次
• 一边轻一边重，一种是两个轻两个重，另一种是左1轻1重右两重。去掉右边两个重的，剩下三个里面2个轻一个重---2次

45

蒙提霍尔问题（又称三门问题、山羊汽车问题）
你在参加一个抽汽车的活动，你选择了一个门之后，主持人选择另外两个门的其中一个打开是山羊，然后问你是否换门，你换还是不换？

在主持人知道汽车在哪个门的情况下，没开启的那扇门的概率变为2/3，所以要换。

答案来源

46

A是B的子集，P(B)＞0，则P(A)与P(A|B)的关系

贝叶斯公式

47

A 有 n 个硬币,B 有 n+1 个硬币,谁丢的正面多谁赢,问 B赢的概率？

前n轮，A正面跟B正面的次数有三种情况,A>B,A==B,A<B
定义,

由对称性，
因此，

对第n+1轮进行讨论，

• A<B，不论结果如何B都赢
• A>B,这种情况下无论B抛出来是正还是反，B都赢不了
• A==B，当抛出来为正面是B赢

因此B赢的概率为

48

抛2k+1次硬币，问正面次数比背面多的概率是多大，并讲出数学证明思路。

假设正面次数比背面次数多的概率为x，因为抛了2k+1次，所以正反次数不可能相等。而背面比正面次数多的概率也是x，因此x+x=1
答案是0.5

直接公式证明的资源

49

连续投硬币，当第一次出现正面时，一共投了奇数次则A赢，偶数次则B赢。求A, B赢的概率

问题转化：
该问题相当于A，B轮流投硬币，先出正面就赢。

假设A赢的概率为p，则，结果为p=2/3

50

一个圆，往里面随机生成点，要求均匀

拒绝采样，假设半径为1，生成X，Y服从[-1,1]的均匀分布，如果在圆内就接受，不在就再次生成。

51

给定一个函数，它完全随机地产生【1,3】范围内的整数（即每个数的产生机率都是1/3）。用给定的函数去求一个完全随机产生【1,89】范围内的整数函数。。。注意，要求每个数的出现的概率都相同。

拒绝采样，我们有一个random3函数生成【1，3】

• 构造一个random9来生成【1，9】；
• 继续构造一个random243（9*9*3）生成1-243范围，如果大于178，重新生成。否则假设生成的数为x，返回(x-1)%89+1

52

6位数字的8位数码管显示的数字，倒过来看和以前相同的概率是多少。

1258旋转不变 6和9旋转后对称

53

两个1和6个0可以组成( )个不同的二进制数？这些二进制数化为十进制后总和是( )

，1在每个位子上都出现的次数是均匀的，一共有56次，所以每个位子出现了7次，和=

54

月神特别喜欢吃月饼，中秋节时快手发了10个月饼，已知月神一天至少吃一个月饼；请问，月神在3天内将10个月饼全部吃完的概率为：

插板法，

55

在一个半径为r的圆上随机取两个点，这两个点之间的距离的期望为

固定一个点，另一个点围着它走一个半圆，

答案来源

56

有30瓶一样的药水，其中有一瓶变质了，喝了之后1小时会死掉。最少需要多少只小白鼠做实验，才能保证在1小时时间内找到有变质的一瓶？

二进制问题

问题转化：
假设有n瓶药水，里面1瓶有毒。

• 如果用1只小白鼠检测的话，n最大为2，即喝一瓶放一瓶；
• 如果2只，n最大为4；
• 当n为5时，最多能检测32瓶。
  因此，30瓶最少需要5只。

57

4 个人分牌，54 张扑克牌，除去两张大小王剩下 52 张扑克牌。问红桃 A 和黑桃 A 同时被一个人拿到的概率是多少？

概率练习题搜罗

• http://www.dscademy.com/probability-theory/problems/index.php?from=header
• https://www.nowcoder.com/discuss/95737
• https://www.nowcoder.com/discuss/346845?order=0&page=1&pos=6&type=0
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/88247726