调和级数

调和级数是由调和数列各元素相加所得的和。中世纪后期的数学家Oresme证明了所有调和级数都是发散于无穷的。但是调和级数的拉马努金和存在，且为欧拉常数
积分判别法
通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1/n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1/n），所以所有长方形的总面积就是调和级数的和： 矩形面积和： 而曲线y=1/x以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出： 曲线下面积： 由于这一部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说，这证明了：

这个方法的拓展即积分判别法。

练习题

LightOJ - 1245
https://cn.vjudge.net/problem/26955/origin

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 100000 + 10;

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int kase = 1; kase <= T; kase++)
    {
        LL n,res = 0,i;
        scanf("%lld",&n);

        for(i = 1; i <= sqrt(n); i++)
        {
            res += n / i;
            if(n / i > n / (i + 1)) res += ((n / i) - (n /  (i + 1))) * i;
        }
        i--;
        if(n / i == i) res -= i;

        printf("Case %d: %lld\n",kase,res);
    }
    return 0;
}