《算法》（第4版）第6章读书笔记

B+树和二叉树、平衡二叉树一样，都是经典的数据结构。B+树由B树和索引顺序访问方法（ISAM，是不是很熟悉？对，这也是MyISAM引擎最初参考的数据结构）演化而来，但是在实际使用过程中几乎已经没有使用B树的情况了。

B+树的定义十分复杂，因此只简要地介绍B+树：B+树是为磁盘或其他直接存取辅助设备而设计的一种平衡查找树，在B+树中，所有记录节点都是按键值的大小顺序存放在同一层的叶节点中，各叶节点指针进行连接。

我们先来看一个B+树，其高度为2，每页可存放4条记录，扇出（fan out）为5。

可以看出，所有记录都在叶节点中，并且是顺序存放的，如果我们从最左边的叶节点开始顺序遍历，可以得到所有键值的顺序排序：5、10、15、20、25、30、50、55、60、65、75、80、85、90。

B+树的插入操作

B+树的插入必须保证插入后叶节点中的记录依然排序，同时需要考虑插入B+树的三种情况，每种情况都可能会导致不同的插入算法，如表5-1所示。

我们用实例来分析B+树的插入，我们插入28这个键值，发现当前Leaf Page和Index Page都没有满，我们直接插入就可以了。

这次我们再插入一条70这个键值，这时原先的Leaf Page已经满了，但是Index Page还没有满，符合表5-1的第二种情况，这时插入Leaf Page后的情况为50、55、60、65、70。我们根据中间的值60拆分叶节点。

因为图片显示的关系，这次我没有能在各叶节点加上双向链表指针。最后我们来插入记录95，这时符合表5-1讨论的第三种情况，即Leaf Page和Index Page都满了，这时需要做两次拆分。

可以看到，不管怎么变化，B+树总是会保持平衡。但是为了保持平衡，对于新插入的键值可能需要做大量的拆分页（split）操作，而B+树主要用于磁盘，因此页的拆分意味着磁盘的操作，应该在可能的情况下尽量减少页的拆分。因此，B+树提供了旋转（rotation）的功能。

旋转发生在Leaf Page已经满了、但是其左右兄弟节点没有满的情况下。这时B+树并不会急于去做拆分页的操作，而是将记录移到所在页的兄弟节点上。通常情况下，左兄弟被首先检查用来做旋转操作，这时我们插入键值70，其实B+树并不会急于去拆分叶节点，而是做旋转，50，55，55旋转。

可以看到，采用旋转操作使B+树减少了一次页的拆分操作，而这时B+树的高度依然还是2。

B+树的删除操作

B+树使用填充因子（fill factor）来控制树的删除变化，50%是填充因子可设的最小值。B+树的删除操作同样必须保证删除后叶节点中的记录依然排序，同插入一样，B+树的删除操作同样需要考虑如表5-2所示的三种情况，与插入不同的是，删除根据填充因子的变化来衡量。

首先，删除键值为70的这条记录，该记录符合表5-2讨论的第一种情况，删除后。

接着我们删除键值为25的记录，这也是表5-2讨论的第一种情况，但是该值还是Index Page中的值，因此在删除Leaf Page中25的值后，还应将25的右兄弟节点的28更新到Page Index中，最后可得到图。

最后我们来看删除键值为60的情况，删除Leaf Page中键值为60的记录后，填充因子小于50%，这时需要做合并操作，同样，在删除Index Page中相关记录后需要做Index Page的合并操作，最后得到图。