题解 | #打家劫舍(二)#
打家劫舍(二)
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题目主要信息:
- 给定一个数组，其中代表每家拥有的钱数
- 小偷每次不能偷取数组中相邻位置的钱，只要不相邻的钱都可以偷
- 数组形成环形，第一家与最后一家相邻
- 求最多能偷到钱数
举一反三：
学习完本题的思路你可以解决如下题目：
方法：动态规划（推荐使用）
知识点：动态规划
动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果。
思路：
这道题与BM78.打家劫舍(一)比较类似，区别在于这道题是环形，第一家和最后一家是相邻的，既然如此，在原先的方案中第一家和最后一家不能同时取到。
具体做法：
-
step 1：使用原先的方案是：用dp[i]表示长度为i的数组，最多能偷取到多少钱，只要每次转移状态逐渐累加就可以得到整个数组能偷取的钱。
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step 2：（初始状态） 如果数组长度为1，只有一家人，肯定是把这家人偷了，收益最大，因此。
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step 3：（状态转移） 每次对于一个人家，我们选择偷他或者不偷他，如果我们选择偷那么前一家必定不能偷，因此累加的上上级的最多收益，同理如果选择不偷他，那我们最多可以累加上一级的收益。因此转移方程为。这里的i在dp中为数组长度，在nums中为下标。
-
step 4：此时第一家与最后一家不能同时取到，那么我们可以分成两种情况讨论：
- 情况1：偷第一家的钱，不偷最后一家的钱。初始状态与状态转移不变，只是遍历的时候数组最后一位不去遍历。
- 情况2：偷最后一家的请，不偷第一家的钱。初始状态就设定了，第一家就不要了，然后遍历的时候也会遍历到数组最后一位。
-
step 5：最后取两种情况的较大值即可。
图示：
Java实现代码：
import java.util.*;
public class Solution {
public int rob (int[] nums) {
//dp[i]表示长度为i的数组，最多能偷取多少钱
int[] dp = new int[nums.length + 1];
//选择偷了第一家
dp[1] = nums[0];
//最后一家不能偷
for(int i = 2; i < nums.length; i++)
//对于每家可以选择偷或者不偷
dp[i] = Math.max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]);
int res = dp[nums.length - 1];
//清除dp数组，第二次循环
Arrays.fill(dp, 0);
//不偷第一家
dp[1] = 0;
//可以偷最后一家
for(int i = 2; i <= nums.length; i++)
//对于每家可以选择偷或者不偷
dp[i] = Math.max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]);
//选择最大值
return Math.max(res, dp[nums.length]);
}
}
C++实现代码：
class Solution {
public:
int rob(vector<int>& nums) {
//dp[i]表示长度为i的数组，最多能偷取多少钱
vector<int> dp(nums.size() + 1, 0);
//选择偷了第一家
dp[1] = nums[0];
//最后一家不能偷
for(int i = 2; i < nums.size(); i++)
//对于每家可以选择偷或者不偷
dp[i] = max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]);
int res = dp[nums.size() - 1];
//清除dp数组，第二次循环
dp.clear();
//不偷第一家
dp[1] = 0;
//可以偷最后一家
for(int i = 2; i <= nums.size(); i++)
//对于每家可以选择偷或者不偷
dp[i] = max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]);
//选择最大值
return max(res, dp[nums.size()]);
}
};
Python代码实现：
class Solution:
def rob(self , nums: List[int]) -> int:
#dp[i]表示长度为i的数组，最多能偷取多少钱
dp1 = [0 for i in range(len(nums) + 1)]
#选择偷了第一家
dp1[1] = nums[0]
#最后一家不能偷
for i in range(2, len(nums)):
#对于每家可以选择偷或者不偷
dp1[i] = max(dp1[i - 1], nums[i - 1] + dp1[i - 2])
res = dp1[len(nums) - 1];
#第二次循环
dp2 = [0 for i in range(len(nums) + 1)]
#不偷第一家
dp2[1] = 0
#可以偷最后一家
for i in range(2, len(nums) + 1):
#对于每家可以选择偷或者不偷
dp2[i] = max(dp2[i - 1], nums[i - 1] + dp2[i - 2])
#选择最大值
return max(res, dp2[len(nums)])
复杂度分析：
- 时间复杂度：，其中为数组长度，单独遍历两次数组
- 空间复杂度：，动态规划辅助数组的空间
