题解 | #打家劫舍(一)#

题目主要信息:

• 给定一个数组，其中代表每家拥有的钱数
• 小偷每次不能偷取数组中相邻位置的钱，只要不相邻的钱都可以偷
• 求最多能偷到钱数

举一反三：

学习完本题的思路你可以解决如下题目：

BM79.打家劫舍(二)

BM80.买卖股票的最好时机(一)

BM81.买卖股票的最好时机(二)

BM82.买卖股票的最好时机(三)

方法：动态规划（推荐使用）

知识点：动态规划

动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果

思路：

或许有人认为利用贪心思想，偷取最多人家的钱就可以了，要么偶数家要么奇数家全部的钱，但是有时候会为了偷取更多的钱，或许可能会连续放弃两家不偷，因此这种方案行不通，我们依旧考虑动态规划。

具体做法：

• step 1：用dp[i]表示长度为i的数组，最多能偷取到多少钱，只要每次转移状态逐渐累加就可以得到整个数组能偷取的钱。
• step 2：（初始状态） 如果数组长度为1，只有一家人，肯定是把这家人偷了，收益最大，因此$dp[1]=nums[0]dp[1]\; =\; nums[0]$。
• step 3：（状态转移） 每次对于一个人家，我们选择偷他或者不偷他，如果我们选择偷那么前一家必定不能偷，因此累加的上上级的最多收益，同理如果选择不偷他，那我们最多可以累加上一级的收益。因此转移方程为$dp[i]=max(dp[i-1],nums[i-1]+dp[i-2])dp[i]\; =\; max(dp[i\; -\; 1],\; nums[i\; -\; 1]\; +\; dp[i\; -\; 2])$。这里的i在dp中为数组长度，在nums中为下标。

图示：

Java实现代码：

import java.util.*;
public class Solution {
    public int rob (int[] nums) {
        //dp[i]表示长度为i的数组，最多能偷取多少钱
        int[] dp = new int[nums.length + 1]; 
        //长度为1只能偷第一家
        dp[1] = nums[0]; 
        for(int i = 2; i <= nums.length; i++)
            //对于每家可以选择偷或者不偷
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]); 
        return dp[nums.length];
    }
}

C++实现代码：

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        //dp[i]表示长度为i的数组，最多能偷取多少钱
        vector<int> dp(nums.size() + 1, 0); 
        //长度为1只能偷第一家
        dp[1] = nums[0]; 
        for(int i = 2; i <= nums.size(); i++)
            //对于每家可以选择偷或者不偷
            dp[i] = max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]); 
        return dp[nums.size()];
    }
};

Python代码实现：

class Solution:
    def rob(self , nums: List[int]) -> int:
        #dp[i]表示长度为i的数组，最多能偷取多少钱
        dp = [0 for i in range(len(nums) + 1)] 
        #长度为1只能偷第一家
        dp[1] = nums[0] 
        for i in range(2, len(nums) + 1):
            #对于每家可以选择偷或者不偷
            dp[i] = max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]) 
        return dp[len(nums)]

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)O(n)$，其中$nn$为数组长度，遍历一次数组
• 空间复杂度：$O(n)O(n)$，动态规划辅助数组的空间