HJ85 最长回文子串 题解

by 限时烟花

1. 抽丝剥茧

这是一道非常基础的问题，也是每一个学习编程的人都回避不了的问题。

对于第一次接触这个问题的学习者，可以对问题作如下理解：

1. 回文：即是要求子串本身是对称的；
2. 最长：即是要求在所有子串中找到符合要求的。

2. 化繁为简

根据上一部分的分析，我们可以很容易的想到暴力的解法：在每一个位置检查所有的合法的长度的子串是否是对称的。

3. 码上行动

while True:
	try:
    	s = input()  # 输入
    	len_s = len(s)
    	result = 0  # result用于记录目前最长的子串长度，初始化为0
    	for n in range(len):  # 从第一个字符的位置开始检查
  			max_len = result + 1  # max_len代表当前检查字符串的长度
       		while n + max_len <= len:  # 代表搜索完以第n+1个字符串开头的所有字符串
          		if s[n:n + max_len] == s[n:n + max_len][::-1]:  # 如果满足是回文字符串
              		result = max_len  # 则此时最大的字符串长度变为max_len
            	max_len += 1  # 每次增加字符串的长度1
    	if result != 0:
       		print(result)
	except:
		break

4. 心有成算

时间复杂度：由于嵌套了双层的循环，而在判断回文时需要进行逐位的判断，共计max_len次，故时间复杂度为$O(n^3)O(n^3)$

空间复杂度：由于使用了n长的临时变量来存储输入，故空间复杂度为$O(n)O(n)$

5. 另辟蹊径

首先需要明确的是，如果一个字符串是回文字符串，并且长度大于2，那么将其首尾各去掉一个字母后，剩余的部分仍然是回文字符串。

那么根据这样的思路，则使用动态规划的思想我们可以解决这个问题。

使用$P(i,j)P(i,j)$表示字符串的第$ii$到第$jj$个字母组成的字符串是否为回文字符串，那么根据上述的性质，我们容易写出以下的状态转移方程：

以上是普通情况下的状态转移方程，对于动态规划问题我们还需要考虑边界条件。 在本道题目中，边界条件是当字符串长度为1和2时。 长度为1的字符串显然是回文字符串；对于长度为2的字符串，则需要两个字符相同，故有：

则可以如下解法：

while True:
    try:
        s = input()
        n = len(s)
        if n < 2:
            print(n)
        
        max_len = 1
        begin = 0
        # dp[i][j] 表示 s[i..j] 是否是回文串
        dp = [[False] * n for _ in range(n)]
        for i in range(n):
            dp[i][i] = True
        
        # 递推开始
        # 先枚举子串长度
        for L in range(2, n + 1):
            # 枚举左边界，左边界的上限设置可以宽松一些
            for i in range(n):
                # 由 L 和 i 可以确定右边界，即 j - i + 1 = L 得
                j = L + i - 1
                # 如果右边界越界，就可以退出当前循环
                if j >= n:
                    break
                    
                if s[i] != s[j]:
                    dp[i][j] = False 
                else:
                    if j - i < 3:
                        dp[i][j] = True
                    else:
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]
                
                # 只要 dp[i][L] == true 成立，就表示子串 s[i..L] 是回文，此时记录回文长度和起始位置
                if dp[i][j] and j - i + 1 > max_len:
                    max_len = j - i + 1
        print(max_len)
    except:
        break

复杂度分析：

1. 时间复杂度：中间有两层循环，故时间复杂度为$O(n^2)O(n^2)$
2. 空间复杂度：由于使用$n\times nn\backslash times\; n$的dp数组，故空间复杂度为$O(n^2)O(n^2)$