出题人题解 | #球的体积并#

球的体积并

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/22564

原题解链接：https://ac.nowcoder.com/discuss/157310

设两个球 $A$ 和 $B$ 的体积分别为 $V_{a}$ 和 $V_{b}$ ，半径分别为 $r_{a}$ 和 $r_{b}$ ，两球球心距离为 $d$ 。

分三种情况讨论：两球/相离/外切，那么答案是 $\ V_{a}+V_{b}$ ；

两球内含/内切时，答案是 $\ max(V_{a} , V_{b})$ ；

两球相交时，我们可以认为相交部分就是两个球被平面所截的部分，我们称之为球冠。

对于球冠体积有公式： $V=\frac{\pi h\left(3 a^{2}+h^{2}\right)}{6}=\frac{\pi h^{2}(3 r-h)}{3}$

其中 $A$ 为球半径， $a$ 为截面圆半径， $h$ 为垂直于截面的一条直径，即球冠的高 ;

那么 $A$ 对应的球冠参数为： $r=r_{a}, h=r a-\frac{r a^{2}-r b^{2}+d^{2}}{2 d}$

$B$ 对应的球冠参数为： $r=r b, h=r b-\frac{r b^{2}-r a^{2}+d^{2}}{2 d}$

代入球冠体积公式便可得到答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double PI = acos(-1.0);
typedef struct point
{
    double x,y,z;
    point() { } point(double a, double b,double c)
    {
        x = a;
        y = b;
        z = c;
    } point operator -(const point &b)const    //返回减去后的新点
    {
        return point(x - b.x, y - b.y,z-b.z);
    } point operator +(const point &b)const   //返回加上后的新点
    {
        return point(x + b.x, y + b.y,z+b.z);
    } //数乘计算
    point operator *(const double &k)const   //返回相乘后的新点
    {
        return point(x * k, y * k,z*k);
    }
    point operator /(const double &k)const   //返回相除后的新点
    {
        return point(x / k, y / k,z/k);
    }
    double operator *(const point &b)const   //点乘
    {
        return x*b.x + y*b.y+z*b.z;
    }
} point;
double dist(point p1, point p2)   //返回平面上两点距离
{
    return sqrt((p1 - p2)*(p1 - p2));
}
typedef struct sphere  //球
{
    double r;
    point centre;
} sphere;
double SphereInterVS(sphere a, sphere b,double v,double s)
{
    double d = dist(a.centre, b.centre);//球心距
    if(d-a.r-b.r>0)return PI*4.0/3*a.r*a.r*a.r+PI*4.0/3*b.r*b.r*b.r;
    double r1=a.r,r2=b.r;
    if(d+r1<r2||d+r2<r1)return max(PI*4.0/3*a.r*a.r*a.r,PI*4.0/3*b.r*b.r*b.r);
    double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
    double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2，球冠的高
    double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d)); //余弦公式计算r1对应圆心角，弧度
    double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d)); //余弦公式计算r2对应圆心角，弧度
    double l1 = ((a.r*a.r - b.r*b.r) / d + d) / 2;
    double l2 = d - l1;
    double x1 = a.r - l1, x2 = b.r - l2;//分别为两个球缺的高度
    double v1 = PI*x1*x1*(a.r - x1 / 3);//相交部分r1圆所对应的球缺部分体积
    double v2 = PI*x2*x2*(b.r - x2 / 3);//相交部分r2圆所对应的球缺部分体积
    v = v1 + v2;//相交部分体积
    double s1 = PI*a.r*x1; //r1对应球冠表面积
    double s2 = PI*a.r*x2; //r2对应球冠表面积
    s = 4 * PI*(a.r*a.r + b.r*b.r) - s1 - s2;//剩余部分表面积
    return PI*4.0/3*a.r*a.r*a.r+PI*4.0/3*b.r*b.r*b.r-v;
}
int main()
{
    sphere a,b;
    cin>>a.centre.x>>a.centre.y>>a.centre.z>>a.r;
    cin>>b.centre.x>>b.centre.y>>b.centre.z>>b.r;
    printf("%.7f",SphereInterVS(a,b,0.0,0.0));
}