Chap 10 定义 + 定理

• 10.1 环

  • • 10.1.1 基本定义

      • 定义 10.1.1 环 交换环 单位元环
      • 定理 10.1.1 环R中元素的运算性质
      • 定理 10.1.2 （有单位元的环）

    • 10.1.2 零因子环

      • 定义 10.1.4 （左/右）零因子 有零因子环
      • 定义 10.1.5 （左/右）逆元 【左/右】逆

    • 10.1.3 整环及域

      • 定义 10.1.4 整环 （有单位元但没有零因子的交换环）
      • 性质 10.1.1 （整环有消去律成立）
      • 定义 10.1.5 域（有单位元且每个非零元都是可逆元的交换环）

    • 10.1.4 交换环上的整除

      • 定义 10.1.6 整除 因子 倍元 真因子 不可约元 素元 相伴的

  • 10.2 同态

    • • 定义 10.2.1 环同态 单同态 满同态 同构
      • 定义 10.2.2 同构

  • 10.3 特征及素域

    • • 定义 10.3.1 特征
      • 定理 10.3.1
      • 定理 10.3.2
      • 定理 10.3.3
      • 定义 10.3.2 子环 子域
      • 定义 10.3.3 素域
      • 定理 10.3.4

  • 10.4 分式域

    • • 定理 10.4.1 域的构造方式
      • 定理 10.4.2
      • 分式域
      • 例 10.4.1 有理数域
      • 例 10.4.2 p-元域
      • 例 10.4.3 多项式分式域

  • 10.5 理想和商环

    • 10.5.1 理想

      • 定义 10.5.1 左理想 右理想 理想
      • 例 10.5.1 平凡理想
      • 定理 10.5.1
      • 定理 10.5.2 多个理想的交集
      • 定义 10.5.2 X生成的（左）理想 生成元 有限生成的 主理想
      • 定理 10.5.3 < X >中元素的显示表示
      • 主理想环
      • 定理 10.5.4
      • 理想的运算 和理想 积理想
      • 定理 10.5.5
      • 定理 10.5.6

    • 10.5.2 商环

      • 定理 10.5.7 商环R/Ⅰ的构造
      • 商环

    • 10.5.3 环同态分解定理

      • 定理 10.5.8 同态分解定理
      • 自然同态
      • 定义 10.6.2 极大（左）理想
      • 定理 10.6.3
      • 定理 10.5.9

  • 10.6 素理想

    • • 定义 10.6.1 素理想
      • 定理 10.6.1
      • 定理 10.6.2
      • 定义 10.6.2 极大（左）理想
      • 定理 10.6.3
      • 定理 10.6.4
      • 定理 10.6.5
      • 定理 10.6.6
      • 定理 10.6.7

10.1 环

10.1.1 基本定义

定义 10.1.1 环 交换环 单位元环

环

交换环

单位元环

定理 10.1.1 环R中元素的运算性质

定理 10.1.2 （有单位元的环）

10.1.2 零因子环

定义 10.1.4 （左/右）零因子 有零因子环

定义 10.1.5 （左/右）逆元 【左/右】逆

10.1.3 整环及域

定义 10.1.4 整环 （有单位元但没有零因子的交换环）

性质 10.1.1 （整环有消去律成立）

定义 10.1.5 域（有单位元且每个非零元都是可逆元的交换环）

10.1.4 交换环上的整除

定义 10.1.6 整除 因子 倍元 真因子 不可约元 素元 相伴的

10.2 同态

本节讨论两个环之间的关系。

定义 10.2.1 环同态 单同态 满同态 同构

定义 10.2.2 同构

10.3 特征及素域

定义 10.3.1 特征

定理 10.3.1

定理 10.3.2

定理 10.3.3

定义 10.3.2 子环 子域

定义 10.3.3 素域

定理 10.3.4

10.4 分式域

定理 10.4.1 域的构造方式

定理 10.4.2

分式域

例 10.4.1 有理数域

例 10.4.2 p-元域

例 10.4.3 多项式分式域

10.5 理想和商环

10.5.1 理想

定义 10.5.1 左理想 右理想 理想

例 10.5.1 平凡理想

定理 10.5.1

定理 10.5.2 多个理想的交集

定义 10.5.2 X生成的（左）理想 生成元 有限生成的 主理想

定理 10.5.3 < X >中元素的显示表示

主理想环

定理 10.5.4

推论

理想的运算 和理想 积理想

定理 10.5.5

定理 10.5.6

10.5.2 商环

定理 10.5.7 商环R/Ⅰ的构造

商环

10.5.3 环同态分解定理

定理 10.5.8 同态分解定理

自然同态

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定义 10.6.2 极大（左）理想

定理 10.6.3

(https://uploadfiles.nowcoder.com/images/20211212/170531835_1639286327702/D2B5CA33BD970F64A6301FA75AE2EB22)

定理 10.5.9

10.6 素理想

定义 10.6.1 素理想

定理 10.6.1

定理 10.6.2

定义 10.6.2 极大（左）理想

定理 10.6.3

定理 10.6.4

定理 10.6.5

定理 10.6.6

定理 10.6.7