时间复杂度推算法

一般ACM或者笔试题的时间限制是1秒或2秒。 在这种情况下，C++代码中的操作次数控制在 $10^7-10^{8}10^7-10^8$107−108 为最佳。

下面给出在不同数据范围下，代码的时间复杂度和算法该如何选择：

1. $n\le 30n\le 30$n≤30, 指数级别, dfs+剪枝，二进制枚举，状态压缩dp

2. $n\le 100=>O\left(n^3\right)n\le 100\; =>\; O(n^3)$n≤100=>O(n3)，floyd，dp，高斯消元

3. $n\le 1000=>O\left(n^2\right)，O\left(n^{2}logn\right)n\le 1000=>\; O(n^2)，O(n^2logn)$n≤1000=>O(n2)，O(n2logn)，dp，二分，朴素版Dijkstra、朴素版Prim、Bellman-Ford

4. $n\le 10000=>O\left(n^2\right)n\le 10000\; =>\; O(n^2)$n≤10000=>O(n2)，块状链表、分块、莫队

5. $n\le 100000=>O\left(nlogn\right)=>n\le 100000\; =>\; O(nlogn)\; =>$n≤100000=>O(nlogn)=> 各种sort，线段树、树状数组、set/map、heap、拓扑排序、dijkstra+heap

   prim+heap、spfa、求凸包、求半平面交、二分、CDQ分治、整体二分

6. $n\le 10^6=>O\left(n\right)n\le 10^6\; =>O(n)$n≤106=>O(n), 以及常数较小的 O(nlogn) 算法 => 单调队列、 hash、双指针扫描、并查集，kmp、AC自动机，常数比较小的 $O\left(nlogn\right)O(nlogn)$O(nlogn) 的做法：sort、树状数组、heap、dijkstra、spfa

7. $n\le 10^7=>O\left(n\right)n\le 10^7\; =>\; O(n)$n≤107=>O(n)，双指针扫描、kmp、AC自动机、线性筛素数

8. $n\le 10^9=>O\left(\sqrt{n}\right)n\le 10^9\; =>\; O(\backslash sqrt\; n)$n≤109=>O(n​)，判断质数

9. $n\le 10^{18}=>O\left(logn\right)n\le 10^\{18\}\; =>\; O(logn)$n≤1018=>O(logn)，最大公约数，快速幂

10. $n\le 10^{1000}=>O\left(\right(logn{)}^2)n\le 10^\{1000\}\; =>\; O((logn)^2)$n≤101000=>O((logn)2)，高精度加减乘除

11. $n\le 10^{100000}=>O(logk\times loglogk)n\le 10^\{100000\}\; =>\; O(logk\times loglogk)$n≤10100000=>O(logk×loglogk)，k表示位数$O(logk\times loglogk)O(logk\times loglogk)$O(logk×loglogk)，k表示位数，高精度加减、FFT/NTT