2021牛客暑期多校训练营8 J、Tree

题目大意

二人现在站在一棵树上的不同点，现在有成员得分等于这个人走过的路径长度，并且在这棵树上行走有一个特殊的性质，就是从之后点将会被删除，并且与相连的全部边都会被删除。现在他们双方都想让自己的得分减掉对方得分最大化，起始站在点，起始站在点，问游戏结束的得分减掉的得分结果是多少？

Solution

考点：表+对抗搜索

第一我们知道对于之间的最短路径来说，如果有任何一个玩家脱离了这条路径上，那么这时候两名玩家就变成完全独立的两个部分分别走最大值了。

第二就是我们用同一个式子来表示双方都想最大化得分差值的式子。如果我们用代表的得分，代表的得分，所以也就是想要最大，想要最大，等价于想要最小。

对于具体的方案来说，我们用一次求出从路径上全部的点。

对着这些路径上的点走非的路径可以走的最远距离记为。

接下来我们用代表从点离开可以走的最大距离，这个会等于也就是从走到然后再往下走。

同理我们也用代表从点离开可以走的最大距离，这个会等于也就是从走到接着走。

然后我们就去的链上跑对抗搜索，对于任意一个人来说，它可以现在就在这个点离开也可以接着走，直到两人相遇的话就不能越过了，这里我们假设现在是走，那么我们假设在点离开，那么可以选择的最大值应该是里面的最大值，这里静态的查询我们用表可以高效的维护。

剩下的就是两人依次取和的操作了。

时间复杂度，多出来的是表预处理的时间复杂度，对于每次我们保证每个点一定不会被遍历一次。

const int N = 5e5 + 7;
int Log[N], st1[21][N], st2[21][N];

int n, s, t;

vector<int> G[N];

bool vis[N], tag[N];
int path[N], path1[N], path2[N], len;

bool dfs1(int u, int dep) {
    vis[u] = 1;
    if (u == t) {
        len = dep;
        path[dep] = u;
        tag[u] = 1;
        return true;
    }
    for (auto& v : G[u]) {
        if (vis[v])    continue;
        if (dfs1(v, dep + 1)) {
            path[dep] = u;
            tag[u] = 1;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int dfs2(int u, int dep) {
    vis[u] = 1;
    int maxi = dep;
    for (auto& v : G[u]) {
        if (vis[v] || tag[v])    continue;
        maxi = max(maxi, dfs2(v, dep + 1));
    }
    return maxi;
}

int query1(int l, int r) {
    int x = Log[r - l + 1];
    return max(st1[x][l], st1[x][r - (1 << x) + 1]);
}

int query2(int l, int r) {
    int x = Log[r - l + 1];
    return max(st2[x][l], st2[x][r - (1 << x) + 1]);
}

int dfs3(int l, int r, int mode) {
    if (mode == 0) {
        int now = path1[l] - query2(l + 1, r);
        if (l + 1 < r)    now = max(now, dfs3(l + 1, r, 1));;
        return now;
    }
    else {
        int now = query1(l, r - 1) - path2[r];
        if (l + 1 < r)    now = min(now, dfs3(l, r - 1, 0));
        return now;
    }
}

int solve() {
    n = read(), s = read(), t = read();
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int u = read(), v = read();
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs1(s, 1);
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    for (int i = 1; i <= len; ++i) {
        path[i] = dfs2(path[i], 0); // 不沿着 s->t 链还能走多远
    }

    for (int i = 1; i <= len; ++i) {
        path1[i] = path[i] + i - 1;
        path2[i] = path[i] + len - i;
    }

    Log[1] = 0;
    for (int i = 2; i < N; ++i)    Log[i] = Log[i >> 1] + 1;
    for (int i = 1; i <= len; ++i) {
        st1[0][i] = path1[i];
        st2[0][i] = path2[i];
    }
    for (int i = 1; i <= Log[len]; ++i) {
        for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= len; ++j) {
            st1[i][j] = max(st1[i - 1][j], st1[i - 1][j + (1 << i - 1)]);
            st2[i][j] = max(st2[i - 1][j], st2[i - 1][j + (1 << i - 1)]);
        }
    }

    print(dfs3(1, len, 0));

    return 1;
}