【算法】acwing 282 石子合并 区间dp经典题

原题链接

设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式
第一行一个数 N 表示石子的堆数 N。

第二行 N 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

输出格式
输出一个整数，表示最小代价。

数据范围
1≤N≤300
输入样例：
4
1 3 5 2
输出样例：
22

思路：以最后区间中的分割点点作为状态计算

ac code

import java.util.*;

public class Main{
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[] a = new int[n + 1];
        for(int i = 1 ; i <= n; i ++)a[i] = sc.nextInt();
        for(int i = 1; i <= n ; i ++)a[i] += a[i - 1];//求一下前缀和

        int[][] f = new int[n + 1][n + 1];

        for(int len = 2;len <= n; len ++){//枚举长度
            for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++){//枚举起点
                int l = i, r = i + len - 1;
                f[l][r] = Integer.MAX_VALUE;
                for(int k = l; k < r; k ++){//枚举分割点
                    f[l][r] = Math.min(f[l][r],f[l][k] + f[k + 1][r] + a[r] - a[l - 1]);
                }
            }
        }
        System.out.println(f[1][n]);
    }
}

• 区间 DP 常用模版
  所有的区间dp问题，第一维都是枚举区间长度，一般 len = 1 用来初始化，枚举从 len = 2 开始，第二维枚举起点 i （右端点 j 自动获得，j = i + len - 1）
• 关于为什么先枚举长度：
  每个状态只会依赖比它长度更短的其他状态，所以先枚举长度可以保证在计算每个状态之前，先计算出它所依赖的状态。

状态数量n^2,枚举k
时间复杂度o(n^3)