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T1 希望
知识点：贪心
分类：签到
本身是一道OI赛制题目，后改为ACM赛制，但依然可以从 $bj=0$ 得到提示引向正解：
在 $bj=0$ 时显然 $a_1$ 必然需要被消灭，那么同时对 $a_1,a_2,a_3$ 显然比对造成伤害更优，由此我们可以得到一个从左往右依次计算的算法:假设 $a_{1}$ 到 $a_{i-1}$ 已经清零，对于 $a_i$ ，那么同时对 $a_i,a_{i+1},a_{i+2}$ 造成伤害直到 $a_i$ 被消灭。
对于 $bj=1$ ,我们考虑从前往后和从后往前分别计算， $l_i,r_i$ 分别表示 $i$ 前/ $i$ 后所有都被消灭时的斩击数，这时我们可以枚举使用魔法的位置，并通过预处理的 $l_i,r_i$ 可以O(1)计算代价。
总时间复杂度O(n)
T2 摆纸片
知识点：exgcd,快速乘，简单数学知识（数学归纳法）如果你要证明的话>_<虽然我觉得多数人都是直接写
分类：签到
下证挖掉任意一个格子后可以摆满其余格子：
图片说明
显然对于 $n=1$ 时无论挖掉哪个格子均能摆满其余格子
设 $n=k$ 时满足
对于 $n=k+1$ （图丑勿喷）
不妨设挖掉的格子为左上那个格子，不妨我们在中间摆上一个如图的纸片
由 $n=k$ 时成立，我们已将 $n=k+1$ 的情况转化为 $4$ 个 $n=k$ 的情况加上一个纸片，即 $n=k+1$ 时可以摆满
得证
所以 $ans= \frac{(2^{n}*2^{n}-1)}{3}$ ，
(1)由于 $mod$ <64位整数，所以可能会出现两个64位整数相乘爆longlong的情况，为此我们在第10个测试点出现了这种情况.
(2)由于没有保证 $mod$ 为质数，但保证了 $mod$ 非 $3$ 的倍数，即 $gcd(mod,3)=1$ ，所以我们可以通过exgcd求得 $3$ 在模 $mod$ 意义下的逆元
T3 绝望
考点：线段树，基本数论
分类：中档
本题的第 $1$ 个操作显然不是拿来维护的，根据我们的询问内容查找质数个数可知，我们需要分类讨论如下几种情况：
图片说明
为了方便讲解，我将其从上到下称为1~6
1:无论 $x$ 值与操作次数多少， $a_i$ 均不会发生变化，需单独讨论
2: $a_i$ 为1:可能会出现 $x=1$ 且所在位置 $i$ 为质数时由非质数变为质数
3: $a_i$ 非1：只需在赋初值时判断一下是否为质数即可
4: $x$ 为 $0$ ，什么都没有发生qwq
5: $x$ 为1，见情况2
6： $x>1$ ：区间内质数个数归零，因为至少乘上了 $i^x$ ，显然不再为质数
只需将上述情况写清楚即可获得 $AC$