数据结构——“优雅的”复杂度

文章目录

前言
一、复杂度是个what？
- 1.算法效率：
- 2.时间复杂度
二、大O的渐进表示法
- 1.为什么要用渐进表示法？
- 2.推导大O阶方法：
三.常见复杂度计算举例
结语

前言

小伙伴们大家好，好久未写博文了，这样不好。今天博主要继续更新了，最近博主在学习数据结构，希望可以持续地将学习成果分享给大家，请大家多多支持哦！！！那么今天呢我们就来写一写关于复杂度的讲解。

一、复杂度是个what？

首先，我们先来了解几个概念：

1.算法效率：

算法效率分析分为两种：
第一种是时间效率，第二种是空间效率。
时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。而更关注一个算法的时间复杂度

2.时间复杂度

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。
一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

二、大O的渐进表示法

1.为什么要用渐进表示法？

因为复杂度是有“大格局的优雅者”，而“斤斤计较”并不优雅，我们没有必要把所有细枝末节都算上，那样结果冗余复杂且没有什么价值，我们只要选取对结果影响最大的部分就好。
我们来看一个例子：

void Func1(int N)
{
   
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
   
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
   
 ++count;
 }
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
   
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
   
 ++count;
}
printf("%d\n", count)

我们来分析一下：

Func1 执行的基本操作次数：

N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010

我们观察到，在上面的例子中，N*N的阶数最高，对结果的影响最大，而其余对结果的影响微乎其微甚至可以忽略不计，实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这
里我们使用大O的渐进表示法。
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

2.推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
}
int M = 10;
while (M–)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N）

三.常见复杂度计算举例

1.例1有系数怎么办？

void Func2(int N)
{
   
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
   
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
   
 ++count;
}
printf("%d\n", count);
}

根据计算我们可知，F(N)=2N+10。
那么复杂度O(N)应该是多少呢？是O(F(N))吗?是O(2N)吗？

答案是O(N)!
让我们来分析一下为什么是O(N)？
首先，保留最高阶项2*N，然后，我们依据推导大O的方法第三条，去除系数就得到了O(N)。
那么有的小伙伴可能会问，为什么要去除系数呢？其实是这样的，我们知道复杂度为了优雅的风度会忽略对结果影响极小的数值，那么是谁给了复杂度如此“优雅”的勇气呢？是CPU。随着CPU处理速度的越来越快，数十亿次的运算花费时间也是极小的，所以那些阶数较小的项在阶数较高的项面前是完全没有什么存在感的。也正因为如此我们可以忽略阶数较小的项，忽略高阶项前的系数。（就好比亿万富翁，有一亿五千万的人称为亿万富翁，有五亿的人也称为亿万富翁，大家都是亿万富翁。）

2.例2M+N怎么办？

void Func3(int N, int M)
{
   
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
   
 ++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
   
 ++count;
}
printf("%d\n", count);
}

这个O(N)又是多少呢？
通过代码我们可知F(N)=M+N。

ε=(´ο｀*)))唉，这次O(N)应该是多少呢？是O(M)?还是O(N)?还是O(M+N)呢？根据我们的三个推导大O的方法想一想应该哪一个是正确答案呢？

答案是O(M+N)。我们来分析一下，M、N的大小都是未知的，如果M比N大非常多，那么复杂度为M，因为N可以忽略，所以（M+N)近似于M，反之亦然。如果M和N的值接近，则O(N)为O(M+N)，综上我们可以看出，复杂度为O(M+N)可以满足所有情况。

3.例3是常数怎么办？

void Func4(int N)
{
   
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
   
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

我们发现这个程序一共执行了100次为常数，所以复杂度为O(1)。

4.例4好几种情况怎么办？

const char * strchr ( const char * str, int character )；

这个怎么求呢？

好像有点难啊！莫慌，我们来分析一下。
首先，我们先来了解一下strchr函数，strchr函数是对单个字符进行查找的函数，格式如下：char *strchr(const char *str, int character);
表示如果在字符串str中找到字符character，返回character在str中第一次出现的位置，如果没找到则返回NULL。
那么，我们可以发现，我们并不能确定character会在哪里出现。有可能会在开始出现，也有可能会在最后出现，也有可能会在中间出现，也有可能不出现。所以根据规则，我们要选取最坏的情况，也就是复杂度为O(N)。通过这个例子我们可以知道，复杂度的“优雅”不仅可以体现在它会舍弃影响微乎其微的部分，舍去同一个量级的系数，也体现在，它会照顾最坏的情况。复杂度深谙“舍得”的道理，也很“同情弱者".哈哈哈。毕竟检验一个算法的文明尺度的，是它对弱者的态度。

5.例5冒泡排序怎么办？

void BubbleSort(int* a, int n)
{
   
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
   
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
   
if (a[i-1] > a[i])
{
   
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}

我们对于冒泡排序的思想都已经很熟悉了，那么冒泡排序的复杂度又该如何计算呢？我们来分析一下：
我们可以发现，执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)

6.例6二分查找怎么办？

BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
   
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid;
else
return mid;
}
return -1;
}