归并排序、求逆序对（offer51）

本题求数组中的逆序对，很自然的想到了两层for循环，然而困难题，一定超时！

在评论区看到了一种利用归并排序“治”的过程，顺带将逆序对求出来了，记录一下，顺便将归并排序和快排做一个比较。

归并排序

正如图所示，归并排序是将原数组不断的划分，然后开始合并，有点二分法的意思；到只剩一个元素的时候，开始合并，将小的有序数组合并为大的有序数组

恰好，这个合并的时候，如果加一个比较的步骤，就可以求出逆序对的个数，例如：
原本的数组是：【7,3，2,6，0,1，5,4】
原本的方法是：将7与余下的数字进行比较，得出逆序次数，余下的元素也是一样的操作；
归并排序的方法：7仍然要跟所有的元素进行比较(效果上面)，但是如果它的前面有比7小的数字，这个比较的过程就可以省略(实现上面)

7首先和3比较，得出逆序对1；（2,6）、（0,1）、（5,4）也相应的进行比较；
然后3和2进行比较，3比2大，所以3后面的数字也比2大(小数组已经有序了)，因此逆序个数=3及3后面的元素个数；间接得到了7大于2的结果，所以时间复杂度降下来了嘛！

cpp实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/* 归并排序，一般也可用于求逆序对 */
class Solution 
{
   
private:
    static void MergeSort(int left,int right,vector<int>& nums,vector<int>& tmp)
    {
   
        {
   
        //分
        if(left>=right)//只有一个元素的时候开始返回
            return;
        int m=left+(right-left)/2;
        MergeSort(left,m,nums,tmp);
        MergeSort(m+1,right,nums,tmp);
        //治
        for(int k=left;k<=right;++k)
        {
   
            tmp[k]=nums[k];
        }
        int i=left,j=m+1;
        for(int k=left;k<=right;++k)
        {
   
            //如果i越界了，就将nums[j]添加进tmp
            if(i==m+1)
                nums[k]=tmp[j++];
            //如果j越界了，就将nums[i]添加进tmp
            //nums[i]<=nums[j],将nums[i]添加进tmp
            else if(j==right+1||tmp[i]<=tmp[j])
                nums[k]=tmp[i++];
            else//nums[i]>nums[j],将nums[j]添加进tmp
            {
   
                nums[k]=tmp[j++];
            }    
        }
    }
    }
    static int sort(int left,int right,vector<int>& nums,vector<int>& tmp)
    {
   
        //分
        if(left>=right)//只有一个元素的时候开始返回
            return 0;
        int m=(right+left)/2;
        int res=sort(left,m,nums,tmp)+sort(m+1,right,nums,tmp);
        //治
        for(int k=left;k<=right;++k)
        {
   
            tmp[k]=nums[k];
        }
        int i=left,j=m+1;
        for(int k=left;k<=right;++k)
        {
   
            //如果i越界了，就将nums[j]添加进tmp
            if(i==m+1)
                nums[k]=tmp[j++];
            //如果j越界了，就将nums[i]添加进tmp
            //nums[i]<=nums[j],将nums[i]添加进tmp
            else if(j==right+1||tmp[i]<=tmp[j])
                nums[k]=tmp[i++];
            else//nums[i]>nums[j],将nums[j]添加进tmp,同时逆序对的数量+1;
            {
   
                nums[k]=tmp[j++];
                res+=m-i+1;
            }    
        }
        return res;
    }
public:
    static int reversePairs(vector<int>& nums) 
    {
   
        vector<int> tmp(nums.size());
        return sort(0,nums.size()-1,nums,tmp);
    }
    static void TestMergeSort(vector<int>& nums) 
    {
   
        vector<int> tmp(nums.size());
        MergeSort(0,nums.size()-1,nums,tmp);
    }
};

int main() 
{
   
    vector<int> nums={
   1,3,2,5,6,8};
    vector<int> nums2={
   1,3,2,5,6,8};
    Solution::TestMergeSort(nums);
    int c=Solution::reversePairs(nums2);
    return 0;
}

与快速排序进行比较

快速排序是每次选择一个基准数据，将原数组分为两部分，左边比它小，右边比它大，然后继续将左右两边的数组进行排序；

快速排序利用了问题的信息，如果，每次都是在中间位置进行划分，那么快排的时间复杂度是O(Nlog₂N),但如果，每次划分的位置在首部，那么时间复杂度就变成了O(N²),因此是不稳定的;

归并排序，在分的过程中，一直是对半分，没有利用问题的信息；在合的过程中，才开始利用问题的信息；

快速排序cpp实现

void QuickSort2(vector<int>& arr,int left,int right){
   
    //快速排序，每次选取第一个元素作为基准数据，将数组分为两个部分，
    //左边的元素都小于基准数据，右边的元素都大于基准数据。
    if(left>=right)
        return;
    int low=left;
    int high=right;
    while(low<high){
   
        while(low<high&&arr[high]>=arr[left])
            high--;
        while(low<high&&arr[low]<=arr[left])
            low++;
        swap(arr[low],arr[high]);
    }
    swap(arr[left],arr[low]);
    QuickSort2(arr,left,low-1);
    QuickSort2(arr,low+1,right);
}

end!