问题描述

给你一个可装载重量为 W 的背包和 N 个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第 i 个物品的重量为 wt[i]，价值为 val[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？

解题思路

01背包问题是一个非常经典的动态规划问题，可以很好的入门动态规划，与之相关的变形题目也是非常的多

（1）状态和选择是什么？

• 状态：由于是不断将物品放入状态，所以变化的量有两个——“背包容量”和可选择的物品
• 选择：选择就是要么装进去要么不装进（也就是0和1）

因此选择导致了状态变化，如果选择装入将导致背包容量减少以及可选择的物品减少

（2）dp数组如何定义

接着要根据状态和选择来定义dp数组。dp数组完成的就是动态转移，dp数组的值一定是价值，这是毋庸置疑的。动态规划框架如下

题目问的是当给定物品个数为N，背包容量为W时所能装的最大的价值数目，那么我们将dp数组也定义为dp[i][w]（动态规划本质就在于状态的转移，就像是砌墙一样，上面的每一砖每一瓦都代表一个状态，它们的到的和下面的砖瓦是息息相关的），它表示对于前i个物品，如果给定容量为w，可以装的最大价值为dp[i][w]

后序的操作就是从最简单的情形开始，一步一步推导每个状态，最终当返回i=N，w=W时的结果即可。

（3）base case

base case很容易想到。最极端最简单的情况自然是i=0，此时表示不选择物品，以及w=0，此时表示背包容量为0。他们的结果均为0

（4）框架

于是完善最原始的框架如下

int dp[N+1][W+1]
dp[0][..] = 0
dp[..][0] = 0

for i in [1..N]:
    for w in [1..W]:
        dp[i][w] = max(
            把物品 i 装进背包,
            不把物品 i 装进背包
        )
return dp[N][W]

动态规划最难的地方，就是动态转移，也即是如何将上面的文字表述为代码

（5）动态转移

• 如果没有把第i个物品放在背包：很显然，既然没有把第i个放进去，那么价值量不会增加，状态也不会变化,也即dp[i][w]==dp[i-1][w]
• 如果把第i个物品放入了背包：既然放入了背包，那么此状态的容量一定会减少wt[i]，而价值则会增加val[i]，因此dp[i][w]==dp[i-1][w-wt[i-1]]+val[i-1]

需要注意的是i是从1开始的，因此val和wt的索引中i-1表示第i个物品。所以dp[i][w]==dp[i-1][w-wt[i-1]]+val[i-1]表示如果把第i个物品装入了，就要寻找剩余重量w-wt[i-1]限制下的最大价值，加上第i个物品的价值val[i-1]

代码

int knapsack(int W, int N, vector<int>& wt, vector<int>& val) {
    // vector 全填入 0，base case 已初始化
    vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(W + 1, 0));
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int w = 1; w <= W; w++) {
            if (w - wt[i-1] < 0) {
                // 当前背包容量装不下，只能选择不装入背包
                dp[i][w] = dp[i - 1][w];
            } else {
                // 装入或者不装入背包，择优
                dp[i][w] = max(dp[i - 1][w - wt[i-1]] + val[i-1], 
                               dp[i - 1][w]);
            }
        }
    }

    return dp[N][W];
}

01背包问题相关题目

1：牛客-求正数数组的最小不可组成和

牛客

如果按照原生的背包问题可以这样理解：min为最轻物品的质量，sum为所有物品的总质量，假设有一个背包，其容量范围在[min,sum]之间，还有len件不同重量的物品、、、

也即把数组中的数据看作物品的重量，如果这些物品不能填满某个容量（范围为[min,max]）的背包，就表示不能组成那个范围的数

class Solution {
public:
    /**
     *    正数数组中的最小不可组成和
     *    输入：正数数组arr
     *    返回：正数数组中的最小不可组成和
     */
    int getFirstUnFormedNum(vector<int> arr, int len) 
    {
        //范围为[min,sum];
        int sum=0,min=arr[0];
        int i,j;
        for(int i=0;i<len;i++)
        {
            sum+=arr[i];
            min=arr[i] < min ? arr[i] : min;
        }
        vector<int> dp(sum+1,0);
        for(i=0;i<len;i++)
        {
            for(j=sum;j>=arr[i];j--)//对于背包容量小于物品的直接忽略
            {
                if(dp[j] < dp[j-arr[i]]+arr[i])//选上了
                    dp[j]=dp[j-arr[i]]+arr[i];
                else//没选上
                    dp[j]=dp[j];
            }
        }

        //最后只要放入的重量不是那个区间的数肯定就是所求
        for(i=min;i<=sum;i++)
        {
            if(i!=dp[i])
                return i;
        }
        return sum+1;
    }
};