通过若干次 rand() 使得随机数的和超过 RAND_MAX 的随机次数的期望

最近看到一个代码，感觉十分有趣，$Mark$ 一下，来源不太清楚了。

首先说一下代码的功能：通过若干次随机使得随机数的和超过 $RAND\_MAX$，求这个随机次数的期望。

代码里通过 $1e8$ 次操作，最后求随机次数的平均值的方法来得到这个期望。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

const int MAXN = 1e8;

int main() {
   
    printf("rand: 0-%d:\n", RAND_MAX);
    
    long long cnt1 = 0;
    for (int i = 0; i < MAXN; i++)
        for (long long j = 0; j < RAND_MAX; j += rand())
            cnt1++;
    
    printf("%f\n", cnt1 * 1.0 / MAXN);
    
    long long cnt2;
    for (int k = 0; k < 10; k++)
    {
   
        cnt2 = 0;
        srand((unsigned)time(NULL));
        for (int i = 0; i < MAXN; i++)
            for (long long j = 0; j < RAND_MAX; j += rand())
                cnt2++;
        
        printf("%d: %f\n", k, cnt2 * 1.0 / MAXN);
    }
    
    return 0;
}

这里不管通过什么样的随机种子($seed$)，最后得到的期望都是接近于 $2.71828\dots$ 的，也就是接近于自然常数 $e$，充分的体现了 $rand()$ 的稳定性。

不过，我的概率论学得有些差劲，并不知道如何科学的去解释期望是 $e$ 就是对的。求大佬们给一个解释……谢谢。