模型评估与选择之Bias and Variance Tradeoff

模型评估与选择

在机器学习领域，人们总是希望使自己的模型尽可能准确地描述数据背后的真实规律。通俗所言的「准确」，其实就是误差小。在领域中，排除人为失误，人们一般会遇到三种误差来源：随机误差、偏差和方差。偏差和方差又与「欠拟合」及「过拟合」紧紧联系在一起。由于随机误差是不可消除的，所以此篇我们讨论在偏差和方差之间的权衡（Bias-Variance Tradeoff）。

定义

数学上定义

首先需要说明的是随机误差。随机误差是数据本身的噪音带来的，这种误差是不可避免的。一般认为随机误差服从高斯分布，记作 ϵ∼N(0,σϵ)。因此，若有变量 y作为预测值，以及 XX作为自变量（协变量），那么我们将数据背后的真实规律 f记作

偏差和方差则需要在统计上做对应的定义。
偏差（bias）描述的是通过学习拟合出来的结果之期望，与真实规律之间的差距，记作

方差（variance）即是统计学中的定义，描述的是通过学习拟合出来的结果自身的不稳定性，记作

以均方误差为例，有如下推论

<figcaption> [Liam Huang]的《谈谈 Bias-Variance Tradeoff》https://liam.page/2017/03/25/bias-variance-tradeoff/ </figcaption>

直观的图示

下图将机器学习任务描述为一个「打靶」的活动：根据相同算法、不同数据集训练出的模型，对同一个样本进行预测；每个模型作出的预测相当于是一次打靶。

<figcaption> [Satya Mallick]的《Bias-Variance Tradeoff in Machine Learning》http://scott.fortmann-roe.com/docs/BiasVariance.html </figcaption>

左上角的示例是理想状况：偏差和方差都非常小。如果有无穷的训练数据，以及完美的模型算法，我们是有办法达成这样的情况的。然而，现实中的工程问题，通常数据量是有限的，而模型也是不完美的。因此，这只是一个理想状况。
右上角的示例表示偏差小而方差大。靶纸上的落点都集中分布在红心周围，它们的期望落在红心之内，因此偏差较小。另外一方面，落点虽然集中在红心周围，但是比较分散，这是方差大的表现。
左下角的示例表示偏差大而方差小。显而易见，靶纸上的落点非常集中，说明方差小。但是落点集中的位置距离红心很远，这是偏差大的表现。
右下角的示例则是最糟糕的情况，偏差和方差都非常大。这是我们最不希望看到的结果。

欠拟合与过拟合

欠拟合（underfitting）：模型的偏差（bias）要高于多项式模型的偏差（Variance）。

过拟合（overfitting）：模型的方差（variance）要高于线性模型的偏差（bias）。

权衡之术-克服 OCD
对于很多人来说，不可避免地会有这样的强迫症：希望训练误差降至 0。
我们说，人想要过得快乐，首先要接纳自己，与自己和解。做机器学习相关的任务也是一样，首先要理解和接受机器学习的基本规律，克服自己的强迫症。
首先，对于误差，在公式 1 中，我们得知误差中至少有「随机误差」是无论如何不可避免的。因此，哪怕有一个模型在训练集上的表现非常优秀，它的误差是 0，这也不能说明这个模型完美无缺。因为，训练集本身存在的误差，将会被带入到模型之中；也就是说，这个模型天然地就和真实情况存在误差，于是它不是完美的。
其次，由于训练样本无法完美地反应真实情况（样本容量有限、抽样不均匀），以及由于模型本身的学习能力存在上限，也意味着我们的模型不可能是完美的。
因此，我们需要克服强迫症，不去追求训练误差为 0；转而去追求在给定数据集和模型算法的前提下的，逼近最优结果。

最佳平衡点的数学表述
在实际应用中，我们做模型选择的一般方法是：
选定一个算法；
调整算法的超参数；
以某种指标选择最合适的超参数组合。
也就是说，在整个过程中，我们固定训练样本，改变模型的描述能力（模型复杂度）。不难理解，随着模型复杂度的增加，其描述能力也就会增加；此时，模型在验证集上的表现，偏差会倾向于减小而方差会倾向于增大。而在相反方向，随着模型复杂度的降低，其描述能力也就会降低；此时，模型在验证集上的表现，偏差会倾向于增大而方差会倾向于减小。
考虑到，模型误差是偏差与方差的加和，因此我们可以绘制出这样的图像。

<figcaption> [Satya Mallick]的《Bias-Variance Tradeoff in Machine Learning》http://scott.fortmann-roe.com/docs/BiasVariance.html </figcaption>

图中的最优位置，实际上是 total error 曲线的拐点。我们知道，连续函数的拐点意味着此处一阶导数的值为 0。考虑到 total error 是偏差与方差的加和，所以我们有，在拐点处：

公式 2 给出了寻找最优平衡点的数学描述。若模型复杂度大于平衡点，则模型的方差会偏高，模型倾向于过拟合；若模型复杂度小于平衡点，则模型的偏差会偏高，模型倾向于过拟合。
过拟合与欠拟合的外在表现
尽管有了上述数学表述，但是在现实环境中，有时候我们很难计算模型的偏差与方差。因此，我们需要通过外在表现，判断模型的拟合状态：是欠拟合还是过拟合。
同样地，在有限的训练数据集中，不断增加模型的复杂度，意味着模型会尽可能多地降低在训练集上的误差。因此，在训练集上，不断增加模型的复杂度，训练集上的误差会一直下降。
因此，我们可以绘制出这样的图像。

<figcaption> [Satya Mallick]的《Bias-Variance Tradeoff in Machine Learning》http://scott.fortmann-roe.com/docs/BiasVariance.html </figcaption>

因此，
当模型处于欠拟合状态时，训练集和验证集上的误差都很高；
当模型处于过拟合状态时，训练集上的误差低，而验证集上的误差会非常高。

处理欠拟合与过拟合
有了这些分析，我们就能比较容易地判断模型所处的拟合状态。接下来，我们就可以参考 Andrew Ng 博士提供的处理模型欠拟合/过拟合的一般方法了。

<figcaption> [Satya Mallick]的《Bias-Variance Tradeoff in Machine Learning》http://scott.fortmann-roe.com/docs/BiasVariance.html </figcaption>

欠拟合
当模型处于欠拟合状态时，根本的办法是增加模型复杂度。我们一般有以下一些办法：
增加模型的迭代次数；
更换描述能力更强的模型；
生成更多特征供训练使用；
降低正则化水平。

过拟合
当模型处于过拟合状态时，根本的办法是降低模型复杂度。我们则有以下一些武器：
扩增训练集；
减少训练使用的特征的数量；
提高正则化水平。