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引言

贝叶斯推理是用先验概率推测后验概率的一种方法，也是笔试面试当中最常见的题型之一。首先，我们先来假设一个场景，假如你是商店售货员，你知道80%顾客只是进店随便逛逛，而只有20%的人真正是要购买商品。并且，你知道真正要购买商品向你询问商品信息的概率90%，而随便逛逛的人向你询问商品信息的概率只有10%。那么当有人向你询问商品信息时，你如何去估算这位顾客购买商品的概率呢？

补充知识介绍-手推贝叶斯公式

看了前面的情景假设，你不禁会想这就是贝叶斯推理啊，用先验概率推测后验概率，说到贝叶斯推理，我们不得不说一下条件概率。在事件 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率，通常记为 ，也就是条件概率。而根据条件概率的公式可知：

对上述的条件概率公式变形得到：

 因此，上述的公式可以替换为：

对上面公式进行移项处理，由此，推导出了大名鼎鼎的贝叶斯公式：

上面是贝叶斯公式的推理过程，但是今天小编想要用最简单的方法，仅用几幅图，教会大家如何运用贝叶斯公式去计算出顾客询问商品时，会购买商品的概率。

01

通过经验设定“先验概率”

在贝叶斯统计学中，“某种类别的比率”有一个专有名词，叫做“先验概率”。通常“先验概率”是可以通过经验来判断，在特殊情况下，即使没有类似的经验也可以进行判断。之后，我们会详细讲解这种特殊情况。

根据场景假设，我们将整体分为了两种不同的情况，如图一所示，A情况下的顾客是“来买东西的人”，概率为20%；B情况下顾客为“随便逛逛的人，概率为80%”，但是我们不知道究竟是 A还是B，只需要在大脑中构建这样的一个大致印象，我们称之为“可能世界”。

02

设置发生“向店员询问”事件的条件概率

条件概率表示“某一特定类别采取各种行动的概率”，如果用“原因”的概念来解释的话，就是在原因明确的情况下，某一类别采取各项行动的结果概率。

如下图所示，如果我们将A,B两类顾客，按照询问和不询问进行细分，那么这些顾客会被分为四类，每一类都有其出现的概率，各个区域的概率就是该区域的面积大小。

下面我们来确定一下四个“可能世界”发生的概率，如下图所示：

P(A)=0.2*0.9=0.18

P(B)=0.2*0.1=0.02

P(C)=0.8*0.3=0.24

P(D)=0.8*0.7=0.56

P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1

03

通过观察到的行为，排除“不可能的情况”

作为一名店员，现在你面临的情况是：顾客上前来打招呼。这又意味着，你观察到了顾客的某一种行为。这为可能世界又增加了一条信息。这条信息的内容是：“不询问店员”的可能性消失了。

上一节我们提到，将顾客分为两类，“来买东西”和“随便逛逛”，其中这两类人有包括了“询问”和“不询问”两种行为。在现实世界中，因为已经观察到“询问”这种行为，就意味着不会出现“不询问”这种行为，表现形式如下图所示。

04

寻求“来买东西的人”的贝叶斯逆概率

由于观察到“询问”这一行为，使得可能世界被限定在两个以内。换句话说，面前的顾客所属的世界，要么是“来买东西的人询问店员”，要么是“随便逛逛的人询问店员”。显示其可能性的数值如下图所示。

根据观察行为，可能性被限定为两种时，此时所有情况的概率（长方形面积）之和已经不为1，因此我们需要保持比例，恢复标准化条件，从而使概率发生变化。

（左边长方形的面积）：（右边长方形的面积）=0.18:0.24

简化比值，合计3+4=7，如果按照除法计算，就会得出“相加得1”的结果。也就是说，

（左边长方形的面积）：（右边长方形的面积）=3:4=3/7：4/7

从下图中，我们可以看出，上前询问的顾客为购买者的概率，可以以推定为3/7，我们称之为“贝叶斯逆概率”或者“后验概率”。

05

总结

用图表对上述提到的后验概率的计算方式进行总结，如下图所示。

那么要求后验概率的话，我们只需要抽象出图表的开头中间和结尾部分，并填入数值，结果就很明确了。

从这个图表可以看出，在没有观察到任何行为时，面前的顾客“是来买东西的人”的概率是0.2（先验概率），但是观察到“上前询问”这一行为时，数值更新约为0.43（后验概率）。也就是说，虽然并不能断定这位顾客就是“来买东西的人”，但是这一结果的可能性提高到了以前的两倍，这边是“贝叶斯更新”。

贝叶斯推理可以总结为：通过观察行动（信息），将先验概率通过贝叶斯更新，转换为后验概率。

参考书籍：《统计学关我什么事》

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