c语言讨论寻找多数元素（主元素问题）
摘要
c语言讨论寻找多数元素（主元素问题），这个问题最初由投票问题引出，比如在投票系统中如果有一个人的票数超过50%，那么这个人立即当选。
下面我们将问题抽象出来。
一.问题描述
令A[1.....n]是一个整数序列，A中的整数a如果在A中出现的次数多于[n/2]次，那么a就称为多数元素。
比如现在有一个序列，已知其中有一个数出现的次数超过了50%，请你找出这个数。如3，3 ，1 ，1，3 ，2，3中，出现次数超过50%的数是3。
小伙伴们，你们有什么方法吗？
二.方法思路
我当时就想啊，第一个方法，两两比较呗，分别记录每个数字的出现的次数，2个for循环就解决了，代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
int main(void)
{
int n;
int a[101];
int count, max=0;
printf("数据个数:\n");
scanf_s("%d", &n);
int i, j, k = 0;
for (i = 1; i <= n; ++i) //循环存入数据
{
scanf_s("%d", &a[i]);
}
for (i = 1; i <= n; ++i) //遍历每一个数据
{
count = 0;
for (j = 1; j <= n; ++j)
{
if (a[i] == a[j] && i != j) //遇到相同的数据，计数器加1
{
count++;
}
}
if (count > max) //寻找有相同数据最多的数
{
max = count;
k = a[i];
}
}
printf("%d\n",k);
return 0;
} 这种方法显然时间复杂度为O(n^ 2)， 即n的平方。那么我有思考了,这样的处理还能更好吗？当然有，我脑中一机灵（哈哈我觉得可能是彼得一机灵，天哪，我为什么会想到这个），想到了排序，排完序后所有相同的数会就会在一起。然后再从头到尾扫一遍，用一个变量count来统计，并再用一个max来更新count的最大值。这段代码之所以比刚才那2个for循环的方法要好，是因为我们可以使用堆排或快排，这样时间复杂度降为O(n*log n)，比刚才的O(n^ 2)要快很多。如果不用堆排或快排，则时间复杂度仍为O(n^2)，代码如下：
快排：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
int a[101], n; //定义全局变量，因为这两个变量在子函数中使用
void quicksort(int left, int right)
{
int i, j, t, temp;
if (left > right)
{
return;
}
temp = a[left];
i = left;
j = right;
while (i != j)
{
//顺序很重要，要先从右往左找
while (a[j] >= temp && i < j)
{
j--;
}
//再从左往右找
while (a[i] <= temp && i < j)
{
i++;
}
//交换两个数在数组中的位置
if (i < j)//当i与j没有相遇时
{
t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
}
}
//最后将基准数归位
a[left] = a[i];
a[i] = temp;
quicksort(left, i - 1);
quicksort(i + 1, right);
return;
}
int main(void)
{
int count = 1, max = 0;
printf("数据个数:\n");
scanf_s("%d", &n);
int i, k = 0;
for (i = 1; i <= n; ++i) //循环存入数据
{
scanf_s("%d", &a[i]);
}
quicksort(1,n); //快速排序
for (i = 1; i <= n; ++i) //遍历每一个数据
{
if (a[i] == a[i + 1])
{
count++;
}
else
{
if (count > max) //寻找有相同数据最多的数
{
max = count;
k = a[i];
}
count = 1;
}
}
printf("%d\n",k);
return 0;
} 堆排：
/*对于堆，作向上调整，对内部变量h[101]作调整*/
int* siftup(int n, int h[101])
{
int i = n, flag = 0, j;
while (i >= 1 && flag == 0)
{
if (h[i] < h[i / 2] && i >= 1)
{
j = i / 2;
int t;
t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
i = j;
}
else
{
flag = 1;
}
}
return h;
} 上面的代码用于堆排序一个数组，排好后在主函数中给出第一个数，与第二个数比较，如相等count加1，如不相等，与max比较，更新max，最终找出多数元素。
/*对于堆，作向下调整，对内部变量h[101]作调整*/
int* siftdown2(int x, int num, int h[101])
{
int n = num, flag = 0;
int i, j;
j = x;
while (j <= n && flag == 0)
{
if (h[j] > h[2 * j] && 2 * j <= n)
{
i = 2 * j;
}
else
{
i = j;
}
if (h[i] > h[2 * j + 1] && 2 * j + 1 <= n)
{
i = 2 * j + 1;
}
if (i != j)
{
int t;
t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
j = i;
}
else
{
flag = 1;
}
}
return h;
}
int main(void)
{
int count = 1, max = 0;
printf("数据个数:\n");
scanf_s("%d", &n);
int i, k = 0;
for (i = 1; i <= n; ++i) //循环存入数据
{
scanf_s("%d", &a[i]);
}
siftup(n, a); //堆排序
int c = a[1];
int num = n;
for (i = 1; i <= n; ++i) //遍历每一个数据
{
a[1] = a[num];
--num;
siftdown2(1, num, a); //对于堆，作向下调整，对内部变量h[101]作调整
if (a[1] ==c) //找出下一个较小的数，与前一个比较是否相等
{
count++;
}
else
{
if (count > max) //寻找有相同数据最多的数
{
max = count;
k = a[i];
}
count = 1;
}
c = a[1];
}
printf("%d\n",k);
return 0;
} 然后想到这，我再一此灵机一动，如果这个数出现的次数大于50%的话，排序之后应该就是位于n/2的位置的那个数，故如果堆排或快排，直接排完序输出n/2位置的那个数就是这串序列的多数元素，时间复杂度变为O(log n)。
三.深入思考
刚才我们的问题是已知这个序列存在一个数出现的次数大于50%，那如果没有一个数出现的次数大于50%，那我们找到的数就一定是错的，那有人就说了，将找到的数在与序列对比一遍，查看它出现的次数是否超过50%即可，当然可以，那么我们上面所有的代码时间复杂度都要再乘以n,时间过于复杂，那么在一个数列中不知道是否存在一个数，它出现的次数大于50%的前提下，如何找到这个数，或验证它不存在呢？
哈哈，新的问题诞生了！！！
我又开始了一大波思考，，，
这里提供一个思路，我开始是这样想的，可以用一个数组来记录每个数出现的次数，就是桶排序那样，数组中的最大值的下标就是出现次数超过50%的数。时间空间复杂度是O(n+m) ，但是如果数的大小分布跨度很大怎么办，比如1，10000,10000000·····这样就很浪费空间。嗯~，补充一下吧，可以将数据离散化一下，再开一个数组一一对应，让1对应1,2对应10000,3对应10000000·····。
听到这你一定晕了吧，哈哈，这只是一个思路，下面我们来点硬货，小编查阅了大量资料（显得我好爱学习呀！！你们可以当我不存在，啊，我飘了），发现这是著名的“多数元素问题”，也叫“主元素问题”。
四. 终结问题（探索主元素问题）
如果一个序列存在一个数，且它出现的次数大于50%，则这个序列有一个特性：在原序列中去除两个不同的元素后，那么在原序列中出现次数超过了50%的数，在新序列中的出现次数也一定会超过50%。
知道了这个特性问题应该很好解决了吧！！
不！我在探索的过程中发现了另一个问题，我们来看看吧。
例：
序列 1，4，4，7，4，1这个序列显然4是多数元素。
去除1， 4 仍然4是多数元素。
去除1， 7更是。
序列1 ，4，4， 7， 4 ，7，7这个序列显然没有多数元素。
但是如去除1， 4，则序列变为4， 7， 4， 7 ，7，这时 7为多数元素。
故产生了一个新问题，在最终序列遍历完后找到的多数元素不一定是多数元素，但如果序列有多数元素存在，则在最终序列遍历完后找到的多数元素一定为该序列的多数元素，故我们需要一个函数来找序列中是否有多数元素
话不多说上代码，先找这个多数元素：
/*找出多数元素*/
int Candidate(int m)
{
int c=a[m]; //将新序列第一个数开始向后遍历
int count = 1;//定义计数器
int j;
for ( j= m + 1; count > 0 && j < n; ++j) //如果不相等的数等于了相等的数，去除该段已遍历的序列
{
if (a[j] == c)//如果与第一个数相等，计数器加1
{
count++;
}
else
{
count--; //不相等减1
}
}
if (j == n) //序列遍历完
{
return c;
}
else //如没有，则从接下来新的数开始再往后遍历
{
return Candidate(j);
}
} 就上面所说我们找到这个元素后，要判断这个数是否出现次数大于50%，故我们需要一个函数来判断序列中是否有多数元素，代码如下：
/*判断是否有多数元素*/
int Majority()
{
int c = Candidate(1);
int i, count = 0;
for (i = 1; i <= n; ++i)
{
if (a[i] == c)
{
count++;
}
}
if (count >= n / 2) //如超过一半，则存在多数元素，且为c这个变量中所存的数
{
return c;
}
else
{
return 0;
}
} 这个算法将所有数读了一遍，故时间复杂度最优为O(n) 。下面展示完整代码：
#include <stdio.h> /*寻找多数元素（主元素）问题*/
#include <stdlib.h> /*此代码为最简代码（时间复杂度最简）*/
int a[101], n; //定义全局变量，因为这两个变量在子函数中使用
/*找出多数元素*/
int Candidate(int m)
{
int c=a[m]; //将新序列第一个数开始向后遍历
int count = 1;//定义计数器
int j;
for ( j= m + 1; count > 0 && j < n; ++j) //如果不相等的数等于了相等的数，去除该段已遍历的序列
{
if (a[j] == c)//如果与第一个数相等，计数器加1
{
count++;
}
else
{
count--; //不相等减1
}
}
if (j == n) //序列遍历完
{
return c;
}
else //如没有，则从接下来新的数开始再往后遍历
{
return Candidate(j);
}
}
/*判断是否有多数元素*/
int Majority()
{
int c = Candidate(1);
int i, count = 0;
for (i = 1; i <= n; ++i)
{
if (a[i] == c)
{
count++;
}
}
if (count > n / 2) //如超过一半，则存在多数元素，且为c这个变量中所存的数
{
return c;
}
else
{
return 0;
}
}
int main(void)
{
printf("数据个数:\n");
scanf_s("%d",&n);
int i;
for (i = 1; i <= n; ++i)
{
scanf_s("%d",&a[i]);
}
if (i = Majority() != 0)
{
printf("%d", i);
}
else
{
printf("不存在多数元素\n");
}
return 0;
} 好了，这就是本次小编为大家带来的关于c语言讨论寻找多数元素（主元素问题）的全部内容啦！感谢您的阅读，分享知识，这个世界还能更好！
参考资料
《C语言程序设计（第5版）》 谭浩强 著 清华大学出版社
《C语言程序设计教程 》 王曙燕 主编 人民邮电出版社
《啊哈！算法》 啊哈磊 著 人民邮电出版社
《数据结构与算法分析C语言描述》 [美] 马克·艾伦·维斯 著 机械工业出版社
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