2020ICPC·小米 K-Sqrt Approaching

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https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7501/A

K-Sqrt Approaching

思路:
将题目进行简单的转化,就变成要找C,D满足之间,而题目又是只需要输出一组解,所以尝试构造解。
由于我的解法和官方解法不同,所以其实样例的输出也和我的输出不同。官方题解直接给出构造,未免有点无中生有的感觉,因此我尝试给出得到构造的思路。
首先观察一下A,B,C,D,n的数据范围,不难猜想构造出的C,D应该可能含有nA,nB,A,B,n和常数项。而是有理数,是无理数,如果构造的在他们之间,那么一直重复这个构造方法,就会越来越逼近,即找到一种迭代方法,不断逼近它。
其实这里我考虑过牛顿迭代法,但是构造出的A有二次项,于是换一种思路。
,那么要做的其实是找到一个递推式形如的数列,其极限是,其中p,q都是整数,这时候分子分母就是C,D了。
那么这时我们对两边取极限(不考虑严谨性,就先假设存在了),即 ,整理一下可以得到
若该式子恒成立,那么必有
首先保证不为0,否则式子将与t无关,那么为了简化式子,不妨考虑下,代回原式得到
那么就初步构造出,不妨设,那么就有,先考虑,可以得到,即,那么只需要恒成立即
这时候考虑最简单的形式即,带入发现满足题意,所以就可以得到了构造C=n(A+B),D=A+nB,然后就是一些高精度计算了。
我还考虑过,但是并不可行。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define per(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
const int L=1e5+20;
ll a[L],b[L],na[L],nb[L],c[L],d[L],n;
void read(ll p[],string q){
    p[0]=q.size();
    per(i,(p[0]-1),0)
        p[p[0]-i]=q[i]-'0';
}
void muln(ll p[],ll q[]){
    rep(i,1,p[0])
        q[i]=n*p[i];
    int temp,k;
    rep(i,1,p[0]){
        temp=q[i]/10,k=1,q[i]%=10;
        while(temp)
            q[i+k]+=temp%10,temp/=10,k++;
    }
    q[0]=p[0]+k-1;
}
void add(ll p[],ll q[],ll r[]){
    r[0]=max(p[0],q[0]);
    rep(i,1,r[0])
        r[i]+=p[i]+q[i],r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;
    if(r[r[0]+1]) r[0]++;
}
int main(){
    string A,B;
    cin>>A>>B>>n;
    read(a,A),read(b,B);
    muln(a,na),muln(b,nb);
    add(na,nb,c);
    add(a,nb,d);
    per(i,c[0],1) cout<<c[i];
    cout<<endl;
    per(i,d[0],1) cout<<d[i];
    return 0;
} 
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