九、十章笔记
第九章
二元运算及其性质
定义: 设为集合,函数
称为
上的二元运算
定义: 设为集合,函数
称为
上的一元运算
如何验证一个二元运算
中任意的元素都能运算
中任意两个元素运算的结果是唯一的
中任意两个元素运算的结果仍是属于
的
二元和一元运算的表示
解析式法和运算表
一些性质
定义9.3设为
上的二元运算,
(1)若对任意有
,则称运算在S上满足交换律.
(2)若对任意有
,则称运算在S上满足结合律.
(3)若对任意有
,则称运算在S上满足幂等律.
定义9.4设和
为S上两个不同的二元运算,
(1)若对任意有
,
,则称
运算对
运算满足分配律.
(2)若和
都可交换,且对任意
有
,则称
和*运算满足吸收律.
定义: 设为
上的二元运算,
(1)如果存在,使得对任意
都有
则称
是
中关于
运算的左(或右)单位元.
若关于。运算既是左单位元又是右单位元,则称
为
上关于
运算的单位元.单位元也叫做幺元.
(2)如果存在,使得对任意
都有
,则称
是
中关于
运算的左(或右)零元.
若关于
运算既是左零元又是右零元,则称
为
上关于运算
的零元.
逆元同理
唯一性定理
当一个二元运算同时存在左单位元和右单位元(零元或逆元)时,左右单位元(零元,逆元)相等
代数系统
定义: 非空集合和
上
个一元或二元运算
组成的系统称为代数系统,简称代数,记做
.
构成代数系统的成分:
集合(也叫载体,规定了参与运算的元素)
运算(这里只讨论有限个二元和一元运算)
代数常数(通常是与运算相关的特异元素:如单位元等)
同种和同类型的代数系统
(1)如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同,则称它们是同类型的代数系统.
(2)如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同,则称为同种的代数系统.
子代数系统
定义: 设是代数系统,
是
的非空子集,如果
对
都是封闭的,且
和
含有相同的代数常数,则称
是V的子代数系统,简称子代数.有时将子代数系统简记为
.
相关术语
()最大的子代数:就是本身
(2)最小的子代数:如果令中所有代数常数构成的集合是
,且
对
中所有的运算都是封闭的,则
就构成了
的最小的子代数
(3)最大和最小的子代数称为的平凡的子代数
(4)若B是S的真子集,则构成的子代数称为
的真子代数.
积代数
定义: 设和
是同类型的代数系统,
和为二元运算,在集合
上如下定义二元运算
,有
称为与
的积代数,记作
这时也称
,为
的因子代数.
代数系统的同态和同构
定义: 设和
是同类型的代数系统,f:.A→>B,且Vx,yeA有fxo y)=f(x)*fy),则称f是V到V的同态映射,简称同态.
同态分类:
(1)f如果是单射,则称为单同态
(2)如果是满射,则称为满同态,这时称V,是V的同态像,记作V~V2
(3)如果是双射,则称为同构,也称代数系统V同构于V,
记作VNV,
(4)如果V=V,则称作自同态
第十章
群的定义与性质
定义
(1)设是代数系统,
为二元运算,如果
运算是可结合的,则称
为半群.
(2)设是半群,若
是关于
运算的单位元,则称
是含幺半群,也叫做独异点.有时也将独异点
记作
.
(3 设是独异点,
关于
运算的单位元,若
,则称
是群.通常将群记作
.
群的相关术语
(1)若群是有穷集,则称
是有限群,否则称为无限群.群
的基数称为群
的阶,有限群
的阶记作
.
(2)只含单位元的群称为平凡群.
(3)若群中的二元运算是可交换的,则称
为交换群或阿贝尔(Abel)群.
群中元素的各次幂
设是群,
则
的
次幂
群中元素的阶
定义
设是群,
,使得等式
成立的最小正整数
称为
的阶,记作
,称
为
阶元.若不存在这样的正整数
,则称
为无限阶元.
群中幂运算规则
设为群,则
中的幂运算满足:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)若为交换群,则
.
性质
(1)为群,
,方程
和
在
中有解且仅有惟一解.
(2)为群,则
中适合消去律,即对
有
1.若.
2.若.
(3)为群,
且
.设
是整数,则
1. 当且仅当
2.
子群与群的陪集分解
定义:设是群,
是
的非空子集,
(1)如果关于
中的运算构成群,则称
是
的子群,记作
.
(2)若是
的子群,且
,则称
是
的真子群,记作
.
对任何群都存在子群.
和{e}都是
的子群,称为
的平凡子群.
子群判定定理
- 设
为群,
是
的非空子集,则
是
的子群当且仅当
(1)有
(2).
- 设
为群,
是
的非空子集.
是
的子群当且仅当
.
- 设
为群,
是
的非空有穷子集,则
是
的子群当且仅当
.
生成子群
设为群,
,令
, 则
是
的子群,称为由
生成的子群,记作
.
中心
设为群,令
,
则是
的子群,称为
的中心.
子群的交
设G是群,H,K是G的子群.
(1)也是G的子群
(2)是G的子群当且仅当
或
子群格
设G为群,令L(G)={H |H是G的子群}则偏序集<L(G),∈>称为G的子群格
陪集定义
定义10.9设H是G的子群,a∈G.令Ha={ha | h∈H},称Ha是子群H在G中的右陪集.称a为Ha的代表元素.
类似的可以定义左陪集
相关性质
设H是群G的子群
(1) He= H
(2) 有
(3)有,
(4)在G上定义二元关系 则R是G上的等价关系,且
.
推论
设H是群G的子群,则
(1)
(2)
拉格朗日(Lagrange)定理
设G是有限群,H是G的子群,则|G|=|H|·[G:H]
其中[G:H]是H在G中的不同右陪集(或左陪集)数,称为H在G中的指数.
推论1
设G是n阶群,则,|a|是n的因子,且有
.
证任取a∈G,是G的子群,
的阶是n的因子.
是由a生成的子群,若|a|=r,则
即的阶与|a|相等,所以a是n的因子.从而
.
推论2
对阶为素数的群G,必存在a∈G使得.
证设|G|=p,p是素数.由p≥2 知 G中必存在非单位元.任取a∈G,a≠ e,则是G的子群.根据拉格朗日定理,
的阶是p的因子,即
的阶是p或1.显然
的阶不是1,这就推出
.
循环群与置换群
定义: 设G是群,若存在a∈G使得则称G是循环群,记作
,称a为G的生成元.
循环群的分类:n阶循环群和无限循环群.
设是循环群,若a是n阶元,则
那么|G|=n,称G为n阶循环群.
若a是无限阶元,则称G为无限循环群.
定理: 设是循环群.
(1)若G是无限循环群,则G只有两个生成元,即a和.
(2)若G是n阶循环群,则G含有个生成元.对于任何小于n且与n互质的数re{0,1,.,n-1},
是G的生成元.
循环群的子群
设是循环群.
(1)设是循环群,则G的子群仍是循环群.
(2)若是无限循环群,则G的子群除{e}以外都是无限循环群.
(3)若是n阶循环群,则对n的每个正因子d,G恰好含有一个d阶子群.
n元置换与乘法
定义 : 设S={1,2,..., n},S上的任何双射函数称为S上的n元置换.
n元置换的轮换表示
设S={1,2,..., n},对于任何S上的n元置换,存在着一个有限序列
, k≥1, (可以取
,=1)使得
令,是
分解的第一个轮换.将
,写作
,继续对
分解.由于S只有n个元素,经过有限步得到
轮换分解式的特征
1.轮换的不交性
2.分解的惟一性:若
是
的两个轮换表示式,则有
设S={1,2...n},是S上的k阶轮换,
可以进一步表成对换之积,即
任何n元置换表成轮换之积,然后将每个轮换表成对换之积.
对换分解的特征
- 对换分解式中对换之间可以有交,分解式也不惟一.
- 表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的.
如果n元置换可以表示成奇数个对换之积,则称
为奇置换,否则称为偶置换,不难证明奇置换和偶置换各有
个.
n元置换群
所有的n元置换构成的集合S,关于置换乘法构成群,称为n元对称群. n元对称群的子群称为n元置换群.