The Luckiest number POJ3696 费马小定理

思路

x个8连在一起可以写成8*（10x-1）9，假设d=gcd（L，8）。那么题目可以表达为：L | 8（10x-1）9
接下来我们做一些简单的式子变形：
L | 8（10x-1）/9 ←→ L9 | 8（10x-1） ←→ 9L/d | （10x-1） ←→ 10x ≡ 1 （mod 9L/d）
引理：对于任意互质的正整数a，n，满足：ax≡1（mod n）最小的整数值 X0 是φ（n）的约数。
证明如下：
（反证法）假设X0不是φ（n）的约数，则φ（n）可以表示为：qX0 + r（0 <= r < X0)。题设有：aX0≡1（mod n），那么，aqX0≡1（mod n）且正整数a,n互质，所以有欧拉定理： aφ(n)≡1(mod n)，即：aqX0 * ar≡1(mod n)，继而得出：ar≡1(mod n)，此时r<X0，这与X0是最小的整数值矛盾，所以假设不成立。得证。所以，接下来我们只需要求出φ（9L/d）并将其约数带入10x ≡ 1 （mod 9L/d）验证是否成立即可。求欧拉函数和快速幂，时间复杂度为：O（√（n） * log2 n）。代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,mod;
int Case;
ll gcd(ll a,ll b)
{
   
    return a%b==0 ? b : gcd(b,a%b);
}
ll Er(ll x)
{
   
    ll re=x;
    for (ll i=2;i*i<=x;i++)
    {
   
        if (x%i==0)
        {
   
            re=re/i*(i-1);
            while (x%i==0) x/=i;
        }
    }
    if (x>1) re=re/x*(x-1);
    return re;
}
ll mul(ll a,ll b,ll p)
{
   
    ll re=0;
    while (b)
    {
   
        if (b&1) re=(re+a)%p;
        a=2*a%p;
        b>>=1;
    }
    return re;
}
ll ksm(ll a,ll b,ll p)
{
   
    ll re=1; a%=p;
    while (b)
    {
   
        if (b&1) re=mul(re,a,p);
        a=mul(a,a,p); b>>=1;
    }
    return re;
}
int main(void)
{
   
    while (scanf ("%lld",&n))
    {
   
        if (n==0) return 0;
        Case++;
        ll d=gcd(n,8);
        ll phi=Er(9*n/d);
        mod=9*n/d;
        ll flag=9223372036854775806;
        for (ll i=1;i*i<=phi;i++)
        {
   
            if (phi%i==0)
            {
   
                if (ksm(10,i,mod)==1) 
                  flag=min(flag,i);
                if (ksm(10,phi/i,mod)==1)
                  flag=min(flag,phi/i);
            }
        }
        flag==9223372036854775806?printf("Case %d: 0\n",Case):printf("Case %d: %lld\n",Case,flag);
    }
}