本章主要分为两节：命题与联结词，命题公式及其赋值。

命题与联结词

命题与真值

命题是陈述句，非真即假。

作为命题的陈述句所表达的判断结果称作为命题的真值。

真值只取两个值： True (1) 或 False (0)

其中真值为真的命题称为真命题

       真值为假的命题称为假命题

命题不能分解成为更简单的命题时该命题称作简单命题或原子命题，而由简单命题通过联结词联结而成的命题称作复合命题

悖论
悖论不是命题，它可真可假

判断是否为命题的几点

1. 命题一定是陈述句，不是陈述句不是命题
   
2. 悖论不是命题

联结词

联结词的部分与逻辑符号有共同点

否定联结词

定义 ： 设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称作p的否定式，记作 ， 符号称作否定联结词。

规定 ： 为真当且仅当p为假。

真值表

p
0	1
1	0

合取联结词

定义 ： 设p,q为两个命题，复合命题“p并且q”（或“p与q”） 称为p与q的合取式，记作， 符号称作合取联结词

规定 ： 为真当且仅当p与q同时为真

真值表

p	q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

析取联结词

定义 ： 设p,q为两个命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作， 符号称作析取联结词。

规定 ： 为假当且仅当p与q同时为假。

真值表

p	q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

以上定义的析取联结词 与自然语言中的“或”不完全一样。自然语言中的“或”有时具有相容性，有时具有排斥性，它们分别对应容斥或和排斥或。

举个例子：

p:他挑选202房

q:他挑选203房


很显然为容斥或，按照题意它的意思是他只选择一间房间

所以上面的命题转化为

蕴含联结词

定义 ： 设p,q为两个命题，复合命题“如果p，则q” 称为p与q的蕴含式，记作， 符号称作蕴含联结词，p称为蕴含式的前件，q为后件 。

规定 ： 为假当且仅当p为真q为假。
的逻辑关系为q是p的必要条件。
真值表

p	q
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

命题在翻译为蕴含式的时候往往需要明确命题内表示的为必要性还是充分性

当在命题中包含 “仅当”“只有”“除非”时后面的命题表示为必要性，其他的均表示为充分性。


记忆方法 ： 箭头指向的的命题为表示为必要性（屁股充分脑袋必要）

参考 充分条件和必要条件

等价联结词

定义 ： 设p,q为两个命题，复合命题“p当且仅当q” 称为p与q的等价式，记作， 符号称作等价联结词 。

规定 ： 为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。

真值表

p	q
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

命题联结词的优先级

高                低

命题公式及其赋值

简单命题时命题逻辑中最基本的研究单位，其真值是确定的，又称作为真值常项 或 真值常元。

对应的真值不确定，可以取1或0的变元称作为真值变项 或 真值变元

将命题变项用联结词和圆括号按照一定的逻辑关系联结起来的符号串称作为合式公式

合式公式也称作为命题公式或命题形式简称公式

公式层次的定义

1. 若公式A是个单个命题的变项，则称A为0层公式。（A为简单命题）
2. 称A时n+1（n≥0）层公式是指下面情况之一。

• ，B是n层公式。
• 或 或 或 , 其中B，C分别为i层和j层公式，且 n=max(i,j)

命题真值有关

真值表相关

设,,...是出现在公式A中的全部命题变项，给,,...个指定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。


对指定的一个值使得公式A的真值为1，则该组值称为A的成真赋值；使得为0则成为成假赋值


将命题公式A中,,...出现的所有赋值情况列成的表称之为A的真值表

命题称谓

设A为任意命题公式

1. 若A在任意一种赋值情况下都为真，则称A为重言式或永真式
2. 若A在任意一种赋值情况下都为假，则称A为矛盾式或永假式
3. 若A不是矛盾式，则称A为可满足式

综上可以看出 ， 合式公式可以分为可满足式和矛盾式；可满足式分为重言式和非重言式。

哑元

命题中不含有的命题变项称为哑元