leetcode-剪绳子

刷leetcode《剑指offer》第十四题"剪绳子",以下记录解题过程

题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。
请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？
例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

解析

1. 首先可以用数学方式求解m的最优解，因为这是切割的段数。

2. 确定好段数，那就可以使用3这个特殊数字进行数字的相乘，得到最大乘积

3. 使用动态规划，将每个部分相拆

   • 定义一个数组dp，其中dp[i]表示的是长度为i的绳子能得到的最大乘积。我们先把长度为i的绳子拆成两部分，一部分是j，另一部分是i-j。

   • 拆分结果：1. j和i-j都不能再拆了 2. j能拆，i-j不能拆 3. j不能拆，i-j能拆 4. j和i-j都能拆

     

   • 取四种情况的最大值: 递推公式: dp[i] = max(dp[i], (max(j, dp[j])) * (max(i - j, dp[i - j])));

     

注意

1. 一开始思路为m的一半为最大，从而以2为特殊数字进行递归查询。虽然前面的规律符合，但是m到一定程度，就会破解规律。
2. m为3这个特殊数学知识，是运用求导以及三角不等式求出来的。
3. 当n<=4时候，有特殊情况。简便方式求乘积，直接n-3。

具体代码实现

方法一: 使用特殊数字3

public int cuttingRope(int n) {
    if (n == 2 || n == 3) {
        return n - 1;
    }
    int result = 1;
    while (n > 4) {
        n -= 3;
        result *= 3;
    }
    return n * result;
}

public int cuttingRope2(int n) {
    if (n == 2 || n == 3) {
        return n - 1;
    } else if (n % 3 == 0) {
        // 如果n是3的倍数，绳子全部剪为3
        return (int) Math.pow(3, n / 3);
    } else if (n % 3 == 1) {
        // 如果n对3求余为1，有一个长度为4
        return (int) (4 * Math.pow(3, (n - 4) / 3));
    } else {
        // 如果n对3求余为2，有一个长度为2
        return (int) (2 * Math.pow(3, n / 3));
    }
}

方法二：使用动态规划思想

public int cuttingRope3(int n) {
        // 存储dp的最大乘积
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max((i - j) * j, j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }