某些面试常问专业课(夏令营)
高等代数
1. 什么是正定矩阵?
正定矩阵
(1)广义定义:设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有> 0,其中
表示z的转置,就称M为正定矩阵。
例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)
(2)狭义定义:一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有 > 0。其中
表示z的转置。
对称正定矩阵
Hermite正定矩阵
判定定理
对于n阶实对称矩阵A,下列条件是等价的:
(1)A是正定矩阵;
(2)A的一切顺序主子式均为正;
(3)A的一切主子式均为正;
(4)A的特征值均为正;
(5)存在实可逆矩阵C,使A=C′C;
(6)存在秩为n的m×n实矩阵B,使A=B′B;
(7)存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R,使A=R′R [3] 。
图论
1. 欧拉图
判定定理
- 图G是连通的,不能有孤立的点存在。
- 存在两个顶点,其入度不等于出度,其中一点出度比入度大1,为路径起点,另一点入度比出度大1,为路径的终点。