AcWing 125. 耍杂技的牛贪心证明

农民约翰的N头奶牛（编号为1…N）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：

叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这N头奶牛中的每一头都有着自己的重量Wi以及自己的强壮程度Si。

一头牛只撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。
输入格式

第一行输入整数N，表示奶牛数量。

接下来N行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第i行表示第i头牛的重量Wi以及它的强壮程度Si。
输出格式

输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。
数据范围

1≤N≤50000,
1≤Wi≤10,000,
1≤Si≤1,000,000,000
输入样例：

输出样例：

推荐y总的讲题视屏:https://www.acwing.com/video/122/

这题和国王游戏那题类似

考虑贪心

我们要按照某种策略交换两头牛,使得结果最优

但我们并不知道这种策略是什么

设第 $i$ 头牛体重 $W_{i}$ , 强壮值 $S_{i}$

考虑第 $i$ 头牛,和第 $i + 1$ 头牛

交换前	交换后
$i$	$(\sum_{k = 1}^{i - 1} W_{k}) - S_{i}$	$(\sum_{k = 1}^{i - 1}) + W_{i + 1} - S_{i}$
$i + 1$	$(\sum_{k = 1}^{i - 1} W_{k}) + W_{i} - S_{i + 1}$	$(\sum_{k = 1}^{i - 1}) - S_{i + 1}$

消去 $\sum_{k = 1}^{i - 1} $ 得到

交换前	交换后
$i$	$- S_{i}$ $(A)$	$W_{i + 1} - S_{i}$ $(B)$
$i + 1$	$W_{i} - S_{i + 1}$ $(C)$	$- S_{i + 1}$ $(D)$

可以发现 :

由于 $S$ 和 $W$ 都是正数, 则

得到 $B > A$ , $W - S_{i + 1} > - S_{i + 1},$

$C > D$ , $W_{i + 1} - S_{i} > - S_{i}$
如何才能使得交换后比交换前小 ?

即 : 交换后两个值都小于交换前的最大值 ?

即 : 什么时候 $B 和 D 都小于 m a x (A, C)$ ?
考虑 $B 和 C$ 的关系即可即 $W_{i} - S_{i + 1}$ 和 $W_{i + 1} - S_{i}$ 的关系

什么时候 $B$ 会小于 $C$ 呢 ?
- 如果 $W_{i} + S_{i} < W_{i + 1} + S_{i + 1}$ 则交换后更优
- 如果 $W_{i} + S_{i} > W_{i + 1} + S_{i + 1}$ 则不交换更优
所以我们按照 $S + W$ 排序即可得到最优排序

代码就很简单写了

#define debug
#ifdef debug
#include <time.h>
#include "/home/majiao/mb.h"
#endif

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string.h>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <math.h>

#define MAXN ((int)1e5+7)
#define ll long long int
#define INF (0x7f7f7f7f)
#define fori(lef, rig) for(int i=lef; i<=rig; i++)
#define forj(lef, rig) for(int j=lef; j<=rig; j++)
#define fork(lef, rig) for(int k=lef; k<=rig; k++)
#define QAQ (0)

using namespace std;

#define show(x...) \ do { \ cout << "\033[31;1m " << #x << " -> "; \ err(x); \ } while (0)

void err() { cout << "\033[39;0m" << endl; }
template<typename T, typename... A>
void err(T a, A... x) { cout << a << ' '; err(x...); }

namespace FastIO{

	char print_f[105];
	void read() {}
	void print() { putchar('\n'); }

	template <typename T, typename... T2>
		inline void read(T &x, T2 &... oth) {
			x = 0;
			char ch = getchar();
			ll f = 1;
			while (!isdigit(ch)) {
				if (ch == '-') f *= -1; 
				ch = getchar();
			}
			while (isdigit(ch)) {
				x = x * 10 + ch - 48;
				ch = getchar();
			}
			x *= f;
			read(oth...);
		}
	template <typename T, typename... T2>
		inline void print(T x, T2... oth) {
			ll p3=-1;
			if(x<0) putchar('-'), x=-x;
			do{
				print_f[++p3] = x%10 + 48;
			} while(x/=10);
			while(p3>=0) putchar(print_f[p3--]);
			putchar(' ');
			print(oth...);
		}
} // namespace FastIO
using FastIO::print;
using FastIO::read;

int n, m, Q, K;

struct Node {
	int W, S;
	bool operator < (const Node& no) const {
		return (S+W) < (no.S+no.W);
	}
} a[MAXN];

int main() {
#ifdef debug
	freopen("test", "r", stdin);
	clock_t stime = clock();
#endif
	read(n);
	for(int i=1; i<=n; i++) 
		read(a[i].W, a[i].S);
	sort(a+1, a+1+n);
	int ans = -1e18, psum = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		ans = max(ans, (psum - a[i].S));
		psum += a[i].W;
	}
	printf("%d\n", ans);




#ifdef debug
	clock_t etime = clock();
	printf("rum time: %lf 秒\n",(double) (etime-stime)/CLOCKS_PER_SEC);
#endif 
	return 0;
}