数据结构复习之树与二叉树（上）
数据结构之树
一、树的基本概念
树是一种重要的数据结构，树是由n(n>=1)个有限结点组成的一个具有层次关系的集合。
树的特点：
- 每个结点有零个或多个子结点
- 没有父结点的结点为跟结点
- 每个非根结点只有一个父结点
- 每个结点及其后代整体可以看做一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树
树的相关术语：
- 结点的度：一个结点含有的子树的数量称为该结点的度
- 叶结点：度为零的结点，也可以称为终端结点
- 分支节点：度不为零的结点，也可以称为非终端结点
- 结点的层次：从根节点开始，根结点的层次为1，根的后继层次为2，以此类推
- 节点的层序编号：将树中的结点按照从上到下，从左到右进行编号
- 树的度：树中结点度的最大值为树的度
- 树的高度（深度）：树中结点的最大层次
- 森林：m(m>=0)个互不相交的树的集合。去掉根结点，树就变成一个森林
- 孩子结点：一个结点的后继结点称为该结点的孩子结点
- 双亲结点：一个结点的前驱结点称为该结点的双亲结点
- 兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点之间互称为兄弟结点
二、二叉树
二叉树就是度不超过2的树（每个结点最多有两个子结点），二叉树的子树有左右之分（顺序不能随意颠倒）
满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树
完全二叉树：叶结点只出现在树的最下层或次下层，且最后一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
二叉树的性质：
- 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点
- 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（等比数列前n项和）
- 对于任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为二的结点个数为n2，则n0=n2+1
证明如下：
假设二叉树的0度、1度、2度结点为n0,n1,n2，总结点数为T
则按照结点数求和：
T=n0+n1+n2
按照边求和：(一条边对应一个结点除了根结点所以边+1=T)
T=n0*0+n1*1+n2*2+1
两式相减得：
n0=n2+1
二叉树的遍历：
- 先序遍历：根、左、右
- 中序遍历：左、根、右（二叉查找树情况下遍历结果有序）
- 后序遍历：左、右、根
- 层序遍历：从上往下、从左往右
三、手搓二叉查找树
- 实现增、删、改、遍历、深度计算
package TreeTest;
import LinearTest.QueueTest;
//<Key extends Comparable<Key>,Value>表示key是一个泛型并且实现了Comparable接口
public class TreePracticeTest<Key extends Comparable<Key>,Value> {
//记录跟结点
private Node root;
//记录树中元素的个数
private int N;
//获取树中元素的个数
public int size(){
return N;
}
//二叉树的结点结构
private class Node {
//存储键
public Key key;
//存储值（只能通过Key访问值）
private Value value;
//记录左子结点
public Node left;
//记录右子结点
public Node right;
//构造方法
public Node(Key key,Value value,Node left,Node right){
this.key = key;
this.value = value;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
//向树中插入结点Key-Value
public void put(Key key,Value value){
root = put(root,key,value);
}
private Node put(Node x,Key key,Value value){
//如果结点不存在则创建结点
if(x == null){
N++;
return new Node(key,value,null,null);
}
/*Comparable接口中compareTo方法 返回0表示this==obj 返回正数表示this>obj 返回负数表示this<obj */
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp>0){
//新结点的key大于当前结点的key，继续找当前结点的右子结点，将新得到的右子树替换当前的右子树
x.right = put(x.right,key,value);
}else if (cmp<0){
//把新创建的结点放在左子树的位置
x.left = put(x.left,key,value);
}else{
x.value = value;
}
return x;
}
//查询树中指定key对应的value
public Value get(Key key){
return get(root,key);
}
//从指定的树x中，查找key的值
private Value get(Node x,Key key){
if(x == null){
return null;
}
int cmp = key.compareTo(x.key);
if(cmp>0){
//如果要查询的key大于当前结点的key，则继续寻找当前结点的右子结点
return get(x.right,key);
}else if (cmp<0){
return get(x.left,key);
}else{
return x.value;
}
}
/** * 删除方法的核心： * 为了保证树中结点删除之后仍然有序， * 需要把被删除结点的右子树的左子树的最后一个结点A放入被删除结点处 * 原因：A结点大于被删除结点的所有左子树且小于被删除结点的所有右子树 * @param key */
public void delete(Key key){
root = delete(root,key);
}
private Node delete(Node x,Key key){
if(x == null){
return null;
}
int cmp = key.compareTo(x.key);
if(cmp>0){
//如果要删除的结点key小于当前结点的key，继续去寻找左子树
x.right = delete(x.right, key);
}else if(cmp < 0){
//如果要删除的结点key大于当前结点的key，继续去寻找右子树
x.left = delete(x.left,key);
}else{
//找到需要删除的结点
//将结点数减一
N--;
//如果右子树不存在则直接将其左子树补上即可
if (x.right == null){
return x.left;
}
//如果左子树不存在直接将其右子树补上即可（原理其实还是取右子树中最小的元素替换当前结点）
if (x.left == null){
return x.right;
}
//当前结点的左右子树都存在
//去寻找右子树中最小的结点，初始默认为要删除结点的右子树
Node minNode = x.right;
while (minNode.left != null){
//遍历右子树的左子树
minNode = minNode.left;
}
Node n = x.right;
while (n.left != null){
if(n.left.left == null){
n.left = null;
}else{
n = n.left;
}
}
minNode.left = x.left;
minNode.right = x.right;
x = minNode;
}
return x;
}
//查找树中最小的键（根据查找树的特性，最小的一定在最左边的叶子结点）
public Key min(){
return min(root).key;
}
private Node min(Node x){
if(x.left!=null){
return min(x.left);
}else{
return x;
}
}
//查找树中最大的键（根据查找树的特性，最大的一定在最右边的叶子结点）
public Key max(){
return max(root).key;
}
private Node max(Node x){
if(x.right!=null){
return max(x.right);
}else{
return x;
}
}
/** * 二叉树的遍历（递归调用，在方法中保证遍历的顺序即可每个结点都有序遍历） * 先序遍历：根、左、右 * 中序遍历：左、根、右 * 后序遍历：左、右、根 * @return */
//二叉树的先序遍历 QueueTest为之前编写的队列Test
public QueueTest<Key> preErgodic(){
QueueTest<Key> keys = new QueueTest<>();
preErgodic(root,keys);
return keys;
}
public void preErgodic(Node x,QueueTest<Key> keys){
//如果结点不存在
if(x==null){
return ;
}
//将当前结点的key放入队列中
keys.enqueue(x.key);
//找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
if(x.left!=null){
preErgodic(x.left,keys);
}
//找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
if(x.right!=null){
preErgodic(x.right,keys);
}
}
//二叉树的中序遍历
public QueueTest<Key> midErgodic(){
QueueTest<Key> keys = new QueueTest<>();
midErgodic(root,keys);
return keys;
}
private void midErgodic(Node x,QueueTest<Key> keys){
if (x==null){
return ;
}
if(x.left!=null){
midErgodic(x.left,keys);
}
keys.enqueue(x.key);
if(x.right!=null){
midErgodic(x.right,keys);
}
}
//二叉树的后续遍历
public QueueTest<Key> afterErgodic(){
QueueTest<Key> keys = new QueueTest<>();
afterErgodic(root,keys);
return keys;
}
private void afterErgodic(Node x,QueueTest<Key> keys){
if(x==null){
return ;
}
if (x.left!=null){
afterErgodic(x.left,keys);
}
if (x.right!=null){
afterErgodic(x.right,keys);
}
keys.enqueue(x.key);
}
//层序遍历
public QueueTest<Key> layerErgodic(){
//存储最终结果的队列
QueueTest<Key> keys = new QueueTest<>();
//临时辅助队列
QueueTest<Node> nodes = new QueueTest<>();
//将根结点放入辅助队列
nodes.enqueue(root);
//队列不为空继续循环
while (!nodes.isEmpty()){
//将头部元素弹出队列
Node x = nodes.dequeue();
//将弹出元素的key放入结果队列
keys.enqueue(x.key);
if(x.left!=null){
nodes.enqueue(x.left);
}
if(x.right!=null){
nodes.enqueue(x.right);
}
}
return keys;
}
//计算树的最大深度（思路：找出左右子树中深度最大的子树+1就是原来树的深度）
public Integer maxDepth(){
return maxDepth(root);
}
private Integer maxDepth(Node x){
if (x == null){
return null;
}
//树的深度，这里将所有深度至为0是因为递归调用，
// 每次都把子树当成一个全新的树处理
int max = 0;
//左子树的深度
int maxL = 0;
//右子树的深度
int maxR = 0;
if(x.left!=null){
maxL = maxDepth(x.left);
}
if(x.right!=null){
maxR = maxDepth(x.right);
}
//计算树的最大深度
max = maxL>maxR?maxL:maxR+1;
return max;
}
public static void main(String[] args) {
TreePracticeTest treePracticeTest = new TreePracticeTest();
treePracticeTest.put(4,"二哈");
treePracticeTest.put(1,"张三");
treePracticeTest.put(3,"李四");
treePracticeTest.put(5,"王五");
System.out.println(treePracticeTest.size());
treePracticeTest.put(1,"老三");
System.out.println(treePracticeTest.get(1));
System.out.println(treePracticeTest.size());
treePracticeTest.delete(1);
System.out.println(treePracticeTest.get(3));
System.out.println(treePracticeTest.size());
//四种遍历方式
QueueTest<Integer> pre = treePracticeTest.preErgodic();
QueueTest<Integer> mid = treePracticeTest.midErgodic();
QueueTest<Integer> after = treePracticeTest.afterErgodic();
QueueTest<Integer> layer = treePracticeTest.layerErgodic();
for (Integer key : layer){
System.out.print(key+" ");
}
System.out.println();
//树的深度
Integer depth = treePracticeTest.maxDepth();
System.out.println(depth);
}
}
debug跟着敲走几次，比硬背规律记得牢
，校友加油