概述

是用来处理集合卷积的问题。也就是求解类型的问题。其中或运算可以改为。

寻找点值

因为总是看不下去那么长的推导，所以每次都是看到一半。然后就在加上自己的一点理解，简单推导一下吧（背过结论就行）

以或运算为例。为什么说是集合卷积呢。因为或运算等价于求集合并。也就是求 。

那么我们类似于，先将他转化为点值，然后进行乘法运算后，在转换回来。

如何转化为点值呢。或者说他的点值长什么样子呢。

我们求一个。然后我们求一下的乘积。

我们令表示转化后的结果，表示转化或的结果，表示卷积转化后的结果。

也就是

所以就是我们要的点值表达式！

相互转化

有了点值之后我们还需要在点值与多项式之间相互转化，那么应该怎么转化呢。

其实很简单，观察。这个式子，其实就是一个高维前缀和嘛。。

然后转化回去同样的来个高维差分就ok了。

高维前缀和代码如下:

void fwt_or(int *a,int xs) {
    for(int i = 0;i < n;++i) 
        for(int j = 0;j < (1 << n);++j) 
            if(!((j >> i) & 1)) 
                a[j | (1 << i)] += a[j];
}

对于另外两种运算

对于和。与类似，也有不同之处。因为表示的是集合交，所以他是枚举超集和而不是子集和。

至于，背板子吧我也不会推导啊qwq

板子

板子里面，时表示，即将多项式转化为点值。时表示，即将点值转化回多项式。

或运算

void fwt_or(int *a,int xs) {
    for(int i = 0;i < n;++i)
        for(int j = 0;j < (1 << n);++j)
            if(!((j >> i) & 1))
                a[j | (1 << i)] += xs * a[j];
}

and运算

void fwt_and(int *a,int xs) {
    for(int i = 0;i < n;++i)
        for(int j = 0;j < (1 << n);++j)
            if(!((j >> i) & 1))
                a[j] += xs * a[j | (1 << i)];
}

异或运算

void fwt_xor(int *a,int xs) {
    for(int i = 0;i < n;++i) {
        for(int j = 0;j < (1 << n);++j) {
            if(!((j >> i) & 1)) {
                int l = a[j],r = a[j | (1 << i)];
                a[j] = l + r;a[j] %= mod;
                a[j | (1 << i)] = l - r;a[j | (1 << i)] %= mod;
            }
        }
    }
    if(xs == -1) {
        int inv = qm(1 << n,mod - 2);
        for(int i = 0;i < (1 << n);++i)
            a[i] = 1ll * a[i] * inv % mod;
    }
}

小技巧

在很多题目中，需要进行多次运算，我们不需要每次将数组来回转化，只要先将多项式转化为点值，然后对点值进行快速幂运算，最后在转化回去就行。

模板题

luogu4717

/*
* @Author: wxyww
* @Date:   2020-04-26 08:03:27
* @Last Modified time: 2020-04-26 08:43:59
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1 << 20,mod = 998244353;
ll read() {
    ll x = 0,f = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') {
        if(c == '-') f = -1; c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
        x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();
    }
    return x * f;
}
int A[N],B[N],n;

void fwt_and(int *a,int xs) {
    for(int i = 0;i < n;++i) {
        for(int j = 0;j < (1 << n);++j) {
            if(!((j >> i) & 1)) {
                a[j] += xs * a[j | (1 << i)];
                a[j] %= mod;
            }
        }
    }
}
void fwt_or(int *a,int xs) {
    for(int i = 0;i < n;++i) {
        for(int j = 0;j < (1 << n);++j) {
            if(!((j >> i) & 1)) {
                a[j | (1 << i)] += xs * a[j];
                a[j | (1 << i)] %= mod;
            }
        }
    }
}

ll qm(ll x,ll y) {
    ll ret = 1;
    for(;y;y >>= 1,x = x * x % mod)
        if(y & 1) ret = ret * x % mod;
    return ret;
}
void fwt_xor(int *a,int xs) {
    for(int i = 0;i < n;++i) {
        for(int j = 0;j < (1 << n);++j) {
            if(!((j >> i) & 1)) {
                int l = a[j],r = a[j | (1 << i)];
                a[j] = l + r;a[j] %= mod;
                a[j | (1 << i)] = l - r;a[j | (1 << i)] %= mod;
            }
        }
    }
    if(xs == -1) {
        int inv = qm(1 << n,mod - 2);
        for(int i = 0;i < (1 << n);++i) {
            a[i] = 1ll * a[i] * inv % mod;
        }
    }
}

int tmp1[N],tmp2[N];

int main() {
    n = read();
    for(int i = 0;i < (1 << n);++i) A[i] = read();
    for(int i = 0;i < (1 << n);++i) B[i] = read();

    memcpy(tmp1,A,sizeof(tmp1));
    memcpy(tmp2,B,sizeof(tmp2));
    fwt_or(tmp1,1);fwt_or(tmp2,1);
    for(int i = 0;i < (1 << n);++i) tmp1[i] = 1ll * tmp1[i] * tmp2[i] % mod;
    fwt_or(tmp1,-1);
    for(int i = 0;i < (1 << n);++i) printf("%d ",(tmp1[i] + mod) % mod);puts("");

    memcpy(tmp1,A,sizeof(tmp1));
    memcpy(tmp2,B,sizeof(tmp2));
    fwt_and(tmp1,1);fwt_and(tmp2,1);
    for(int i = 0;i < (1 << n);++i) tmp1[i] = 1ll * tmp1[i] * tmp2[i] % mod;
    fwt_and(tmp1,-1);
    for(int i = 0;i < (1 << n);++i) printf("%d ",(tmp1[i] + mod) % mod);puts("");

    memcpy(tmp1,A,sizeof(tmp1));
    memcpy(tmp2,B,sizeof(tmp2));
    fwt_xor(tmp1,1);fwt_xor(tmp2,1);
    for(int i = 0;i < (1 << n);++i) tmp1[i] = 1ll * tmp1[i] * tmp2[i] % mod;
    fwt_xor(tmp1,-1);
    for(int i = 0;i < (1 << n);++i) printf("%d ",(tmp1[i] + mod) % mod);puts("");
    return 0;
}