【每日一题】子序列

子序列

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/17065

solution

我们大胆猜测：如果当前已经选择了一些位置，加入新位置时只要与已选的最后一个位置满足题目条件，那么肯定与前面的每个位置都满足条件。
下面给出证明。

证明:设已有 $a_i^j < a_j^i,a_j^k < a_k^j$ 。对于第一个不等式，同时变为 $x^k$ ，因为底数为正数，所以不等式符号不变。即变为 $a_i^{jk}<a_j^{ik}$ ,对于第二个不等式，同时变为 $x^i$ ，即变为 $a_j^{ik}< a_k^{ij}$ 。然后将这两个新的不等式合并得到 $a_i^{jk}<a_k^{ij}$ ，同样的，我们让两边同时变为 $x^{\frac{1}{j}}$ ，得到 $a_i^k<a_k^i$ 。

然后就变成了一个比较简单的 $dp$ 了，用 $f_i$ 表示已第 $i$ 个位置结尾符合条件的子序列个数。转移只要枚举一个满足 $a_j^i<a_i^j$ 的 $j$ ，让 $f_i+=f_j$ 即可。

还有最后一个问题，如何比较 $a_j^i$ 与 $a_i^j$ 的大小。我们对其同时取对数，即比较 $\ln a_j^i$ 与 $\ln a_i^j$ 的大小。根据高中所学，我们知道 $\ln x^j=j\ln x$ ，所以只要比较 $i\ln a_j$ 与 $j\ln a_i$ 的大小就行了。

code

/*
* @Author: wxyww
* @Date:   2020-04-23 18:58:23
* @Last Modified time: 2020-04-23 19:03:03
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 110,mod = 1e9 + 7;
ll read() {
    ll x = 0,f = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') {
        if(c == '-') f = -1; c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
        x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();
    }
    return x * f;
}
int f[N],a[N];
int main() {
    int n = read();
    for(int i = 1;i <= n;++i) a[i] = read();

    f[0] = a[0] = 1;
    ll ans = 0;

    for(int i = 1;i <= n;++i) {
        f[i] = 1;
        for(int j = 1;j < i;++j) {
            if(i * log(a[j]) < j * log(a[i])) 
                f[i] += f[j],f[i] %= mod;
        }
        ans += f[i];
        ans %= mod;
    }

    cout<<ans<<endl;

    return 0;
}