具体数学-第6课（下降阶乘幂）

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上节课讲到下降阶乘幂和差分运算，这节课继续讲它和差分的各种性质。

性质1

首先在后面章节会证明， 的二项展开形式和普通的 是一样的，这里提一下，暂时用不到。

性质2

接下来给出下降阶乘幂为负数的定义：

性质3

和普通幂 不同，下降阶乘幂有如下性质：

性质4

上一节课说到，定义下降阶乘幂的好处就是为了求差分方便，下降阶乘幂的差分为：

反之，类比不定积分，它的不定和为：

但是这里 ，那要是 怎么办呢？
直接运用差分定义可以求出

所以

性质5

在微积分里面， 的导数是它自身。那么什么函数的差分是自身呢？
通过定义可以很容易算出来：

进一步推广可以得到：

所以得到如下一种新的等比数列计算方式：

性质6

结合律和分配律在差分运算里也适用。

性质7

类似分部积分，这里也可以分部来求差分。

这里给出一个新的记号叫做移位运算：

所以就得到了差分的分部运算法则：

对两边求和，又可以得到不定求和的分部运算法则：

这个分部法则非常有用，下面举两个例子来说明一下怎么用。

例1

一道老题，计算：

首先计算

在这里可以令

所以

那么求和式就可以转化为不定求和来算了：

例2

计算

首先计算

这里注意要令

不能倒过来哦，因为 的不定和很难求出来的。所以

所以

无限求和

回顾一下以前我们是怎么计算下面求和式的。

首先两边同时乘2，得到：

解出

那么可不可以用同样的方法计算下面式子呢？

两边同时乘2，得到：

解出

显然不可能，因为这里的 是发散的，所以不能这么求。那么如何用一般的方法来求解呢？

首先我们只考虑正数求和，求解 ，其中 是一个无限集合。
那么，如果存在 ，使得对任意 ，都有

那么我们说这个最小的 就是 的结果。
如果不存在这么一个 ，那么这个求和式就是发散的，即结果为正无穷。

一般使用中，对于 ，我们可以令
所以

举两个例子，比如

再如：

剩下的问题就是如何求有正有负的和式？

可以考虑的方案就是用不同的配对，将正负组合在一起，从而相消求和。

但是不同的组合方式会得到不同的答案。就比如：

有两种组合方式：

和

得到了两种不同的结果。

事实上，我们可以将正数和负数分开求和，因为正数求和我们已经解决了，所以我们定义：

其中

所以求和式可以分成两部分分别求和：

最后推广到二重求和：

这里也没啥好细说的，就先了解了解吧。