具体数学-第7课（取整基础）

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首先声明一下，最近这段时间忙毕设，没时间更新博客了，大家见谅。

今天这节课开始讲解取整相关知识，主要是数论相关的了。

符号定义

向下取整函数 定义为小于等于 的最大整数。
向上取整函数 定义为大于等于 的最小整数。
定义为实数 的小数部分，即

性质

性质1

性质2

取整函数范围：

性质3

负数的取整：

性质4

取整函数中的整数可以提取出来：

应用

应用1

证明：

更一般的，我们还可以证明，对于任意连续、递增的函数 ，如果它满足

那么有

我们证明第2个式子，第1个同理可证。

如果 ，显然成立。

否则 ，因为 递增，所以有

两边同时取整，有

要证左右两边相等，那么只要证

不成立即可。假设上式成立，那么由中间值定理，一定存在 ，使得

敲黑板！！这里是怎么来的呢？
由下图可以看出，当下面式子成立时，满足中间值定理

但是在这里，我们假设是

那么由 能否推出 呢？当然是可以的。

所以

又因为 ，所以不存在整数 ，矛盾！

所以证得

另一个特殊的例子是

其中 和 都是整数，并且 是正整数。

应用2

接着介绍区间相关的性质。

求1到1000中使得下列式子成立的 一共有多少个？

求解方法如下：

继续推广，求1到 中使得上面式子成立的 有多少个？
令

也就是小于等于 的最大整数。
所以

渐进地等于

应用3

定义一个实数的谱为：

很容易证明如果两个实数 ，那么

假设 ，那么令

所以

所以集合 中小于 的元素个数小于 。而集合 中小于 的元素个数大于等于 。所以两个集合不相等。

谱有很多奇妙的性质，例如下面两个谱：

可以发现，这两个谱正好划分了正整数集。
证明方法也很简单，只要证明对任意正整数 ，两个集合中小于 的元素个数之和为 ，过程如下：

所以第一个集合中小于 的元素个数为

同理第二个集合中小于 的元素个数为

所以总个数为

得证。