K-摇臂***算法与实现

问题描述

有 $K$ 个***，每个***有一定概率 $P$ 吐出硬币，但是我们不知道这个概率是多少，每个***吐出的硬币价值 $V$ 也是不一样的，现在有 $T$ 次机会选择***，怎么选才能使得到的硬币总价值最大？

在下面的不同算法实现中，统一设定

$\begin{array}{l}K = 5 \\ P = [0.1,0.9,0.3,0.2,0.7] \\ V = [5,3,1,7,4] \\ T = 1000000\end{array}$

可以计算出，这种情况下：

如果每次都选期望价值最高的4号***，可以获得的最高总价值为2800000。
如果每次都选期望价值最低的2号***，可以获得的最低总价值为300000。
如果随机选取***，可以获得的期望总价值为1540000。

探索与利用算法

原理

“仅探索”（exploration-only）算法就是将机会平均分配给每一个***，随机挑选***。

“仅利用”（exploitation-only）算法就是选取当前平均价值最高的那台***。

但是由于尝试的次数有限，所以要在探索与利用之间进行权衡，这也是强化学习面临的一大问题：探索-利用窘境（Exploration-Exploitation dilemma）。

实现代码

        #!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-
import random
import numpy as np

def R(k, P, V):
    if random.random() < P[k]:
        return V[k]
    else:
        return 0

def exploration_bandit(K, P, V, R, T):
    r = 0
    for t in range(T):
        k = random.randint(0, K - 1)
        v = R(k, P, V)
        r += v
    return r

def main():
    K = 5
    P = np.array([0.1, 0.9, 0.3, 0.2, 0.7])
    V = np.array([5, 3, 1, 7, 4])
    T = 1000000
    print exploration_bandit(K, P, V, R, T)

if __name__ == '__main__':
    main()

代码运行结果为：获得总价值1538893。这里只实现了仅探索方法，结果和预估的情况3还是比较接近的。

$\varepsilon$ 贪心算法

原理

这个方法原理就是每次以 $\varepsilon$ 的概率来探索，即以均匀概率随机挑选一个摇臂。以 $1-\varepsilon$ 的概率利用，即挑选当前平均价值最高的那个摇臂。

剩下的问题就是如何维护平均价值最高的摇臂了，对于做过算法竞赛的人来说，这都是小菜一碟。

用 ${Q_n}(k)$ 记录第 $k$ 个摇臂在第 $n$ 次尝试之后的平均价值。那么最高效的算法就是根据 ${Q_{n-1}}(k)$ 来直接推导出 ${Q_n}(k)$ ，如果第 $n$ 次尝试获得的价值为 $v_n$ ，那么 ${Q_n}(k)$ 可以更新为：

${Q_n}(k) = \frac{1}{n}\left( {(n - 1) \times {Q_{n - 1}}(k) + {v_n}} \right)$

实现代码

        #!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-
import random
import numpy as np

def R(k, P, V):
    if random.random() < P[k]:
        return V[k]
    else:
        return 0

def eplison_bandit(K, P, V, R, T):
    r = 0
    Q = np.zeros(K)
    count = np.zeros(K)
    for t in range(T):
        eplison = 1. / np.sqrt(t + 1)
        if random.random() < eplison:
            k = random.randint(0, K - 1)
        else:
            k = np.argmax(Q)
        v = R(k, P, V)
        r += v
        Q[k] += (v - Q[k]) / (count[k] + 1)
        count[k] += 1
    return r

def main():
    K = 5
    P = np.array([0.1, 0.9, 0.3, 0.2, 0.7])
    V = np.array([5, 3, 1, 7, 4])
    T = 1000000
    print eplison_bandit(K, P, V, R, T)

if __name__ == '__main__':
    main()

$\varepsilon$ 一般取值为较小值0.1或者0.01，当然也可以随着尝试次数增加而减小，如果尝试次数为 $n$ ，那么设为 $\varepsilon = 1/\sqrt n$ 即可。

代码运行结果为：获得总价值2795546。结果和情况1还是很接近的，说明这种方法基本能达到最优。

Softmax算法

原理

上面的方法是以 $\varepsilon$ 的概率来进行探索利用抉择，而Softmax方法则是根据Boltzmann分布

$P(k) = \frac{ { {e^{\frac{ {Q(k)}}{\tau }}}}}{ {\sum\limits_{i = 1}^k { {e^{\frac{ {Q(i)}}{\tau }}}} }}$

来进行抉择。其中 $\tau > 0$ 被称作“温度”， $\tau$ 越小的话平均价值越高的摇臂被选取的概率越高， $\tau$ 趋向于无穷大的话选取概率就很均匀了，这时候就变成了仅探索。

实现代码

        #!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-
import random
import numpy as np

def softmax(x):
    return np.exp(x) / np.sum(np.exp(x))

def R(k, P, V):
    if random.random() < P[k]:
        return V[k]
    else:
        return 0

def eplison_bandit(K, P, V, R, T, tau=0.1):
    r = 0
    Q = np.zeros(K)
    count = np.zeros(K)
    for t in range(T):
        p = softmax(Q / tau)
        rand = random.random()
        total = 0.0
        for i in range(K):
            total += p[i]
            if total >= rand:
                k = i
                break
        v = R(k, P, V)
        r += v
        Q[k] += (v - Q[k]) / (count[k] + 1)
        count[k] += 1
    return r

def main():
    K = 5
    P = np.array([0.1, 0.9, 0.3, 0.2, 0.7])
    V = np.array([5, 3, 1, 7, 4])
    T = 1000000
    tau = 0.1
    print eplison_bandit(K, P, V, R, T, tau)

if __name__ == '__main__':
    main()