每日算法系列【LeetCode 319】灯泡开关

题目描述

初始时有 个灯泡关闭。 第 轮，你打开所有的灯泡。 第 轮，每两个灯泡你关闭一次。 第 轮，每三个灯泡切换一次开关（如果关闭则开启，如果开启则关闭）。第 轮，每 个灯泡切换一次开关。 对于第 轮，你只切换最后一个灯泡的开关。 找出 轮后有多少个亮着的灯泡。

示例1

        输入：
3
输出：
1
解释：
初始时, 灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭].
第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启].
第二轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 开启].
第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭]. 

你应该返回 1，因为只有一个灯泡还亮着。
      

题解

首先有 个灯泡，假设编号为 到 。第 轮，所有编号是 的倍数的灯泡被开关了一次。第 轮，所有编号是 的倍数的灯泡被开关了一次。类推下去，第 轮，所有编号是 的倍数的灯泡被开关了一次。

综上，对于编号为 的灯泡来说，它最终被开关的次数取决于 有几个因数。如果有奇数个因数，那么它最后就是开着的，否则就是关着的。

那么我们有一个定理：如果一个正整数有奇数个因数，那么它一定是完全平方数。

最浅显的证明就是，一个数 的因数按照从小到大排个序，首尾两两一对之积一定等于 。而如果因数只有奇数个，最中间一个因数 只会出现一次，那么 。

严格证明也不难，首先将 质因数分解为：

那么 的因数个数就是：

因为 的因数个数是奇数，所以任意 必定是奇数，即任意 必定是偶数。

那么 就可以写作：

这就证明了 一定是一个完全平方数。

所以问题就转化为了求 到 之间有多少个完全平方数。答案就是 。

在具体实现的时候，为了防止出现浮点数误差（比如 算出来是 ，取整得到 ），我们可以计算 的结果。

代码

c++

        class Solution {
public:
    int bulbSwitch(int n) {
        return sqrt(n+0.5);
    }
};